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Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

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Advanced Probability

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Anno accademico 2019/2020

Codice dell'attività didattica
MFN0513
Docente
Prof. Elvira Di Nardo (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Un corso di base di Calcolo delle Probabilità e buone basi di Analisi Matematica. Una discreta capacità nel risolvere problemi di calcolo delle probabilità di livello di base.
An undergraduate level class of Probability and good abilities in real analysis are necessary to understand the topics of the course. Good abilities in elementary probabilistic problem solving are also necessary for the success in this class.
Propedeutico a
I corsi di Processi Stocastici, Statistica dei processi stocastici e Equazioni Differenziali Stocastiche utilizzano concetti e metodi introdotti in questo corso.
Stochastic Processes, Statistics for Stochastic Processes and Stochastic Dfferential Equations make use of concepts and tools introduced in this course.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

I temi e gli strumenti presentati sono parte essenziale della formazione di tipo probabilistico- statistica dello studente, ma sono anche indispensabili per la formazione di un matematico moderno. Lo studente ripensa inizialmente a tematiche già incontrate negli studi triennali affrontandole a un livello più astratto che gli consente poi di  arrivare a controllare con competenze alcuni metodi tipici della teoria avanzata del calcolo delle probabilità, utili sia nelle applicazioni che in vista di attività di ricerca. Con questo corso lo studente rafforza le sue competenze di base,  sviluppa un nuovo livello di astrazione, si abitua alla lettura di più testi affrontando tematiche di interesse sia teorico che applicativo. Le esercitazioni mirano a migliorare le capacità di problem solving. Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile necessaria per  gli studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi.

Topics taught  in this class are essential tools required to a statistician and a probabilist. They are fundamental for any modern mathematician. Students re-think to subjects  of their undergraduate course with a different level of abstraction.This new approach allows them to control some  advanced methods of probability theory, useful for applications as well as  for research.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine del corso gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti del Calcolo delle Probabilità basati sulla Teoria della Misura. Hanno acquisito abilità nell'impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici che applicativi che utilizzino strumenti avanzati quali vettori aleatori, attese condizionali, proprietà di convergenza,  kernel di transizione e  martingale. Sono in grado di dimostrare autonomamente risultati che discendano dalla teoria studiata e riescono ad orientarsi su testi matematici del settore diversi dal libro di testo.

The students attain a detailed knowledge of the foundations of the theory of probability and related topics in measure theory. They attain good ability in probabilistic problem solving being able to deal both with theoretical and applied problems related with conditional expectation, convergence features, transition kernels and martingales.
They become able to prove  new results related to the studied theory, furthermore they become able to learn using different textbooks.

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Modalità di insegnamento

Il corso comprende 72 ore di lezioni di cui 16 ore sono di esercitazioni.

There will be 72 hours of lessons, including 16 hours of in class exercises.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame finale con prova scritta seguita da prova orale in un giorno distinto da quello dello scritto. La prova scritta richiede la soluzione di esercizi e il superarla è requisito indispensabile per essere ammessi alla prova orale. La prova orale comprende una discussione sulla prova scritta e la risposta a due domande. Durante la prova scritta si può consultare il libro di testo.

Final exam includes written and an oral tests. The two tests are scheduled on different dates. Written test consists in the solution of two exercises and is mandatory to pass this test to be admitted to the oral test.The oral examination includes a discussion on the written test as well as the answer to two questions. Students can use the textbook during the written test.

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Attività di supporto

Il corso prevede lezioni ed esercitazioni. Durante il corso viene suggerita la soluzione di esercizi assegnati

The course includes exercise classes and extra exercises are suggested as homework.

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Programma

Richiami di misure ed integrazione: spazi misurabili (standard), funzioni misurabili, misure, integrazione, misure immagini, integrali indefiniti, teorema di Radon-Nikodym. Spazi di probabilità: variabili aleatorie, medie, spazi L^p e integrabilità uniforme, informazione e determinabilità, indipendenza, leggi 0-1, kermnel e spazi prodotto. Convergenze: convergenza quasi certa, in probabilità e in L^p, convergenza debole e rappresentazioni di Skorohod, leggi dei grandi numeri e sue generalizzazioni, teorema del limite centrale e sue generalizzazioni. Medie condizionate: probabilità condizionata e distribuzione condizionata, costruzione di alcuni degli spazi di probabilità fondamentali (successione di prove indipendenti, catene di Markov, processi stocastici). Filtrazioni e tempi di arresto. Martingale a tempo discreto. Trasformazioni e convergenza di martingale. Cenni alle martingale a tempo continuo.

Review of measure and integration: measurable spaces (standard), measurable functions, measures, integration, images of measures, indefinite integrals, Radon-Nikodym theorem. Probability spaces: random variables, expectations, L^p-spaces and uniform integrability, information and determinability, indipendence, 0-1 laws, kernels and product spaces. Convergence: almost sure convergence, convergence in probability and in L^p, weak convergence, law of large numbers and generalizations, central limit theorem and generalizations.  Martingale and stochastics: filtration and stopping time, transformation and convergence of martingales, introduction to martingale in continous time.

 

Testi consigliati e bibliografia

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Libro di testo:

E. Cinlar (2011) Probability and Stochastics, Springer

Ulteriori letture suggerite:

P. Billingsley (2012) Probability and Measure, Wiley.

R.L. Schilling (2017) Measures, Integrals and Martingales, Cambridge University Press.

Textbook:

E. Cinlar (2011) Probability and Stochastics, Springer

Further suggested books:

P. Billingsley (2012) Probability and Measure, Wiley.

R.L. Schilling (2017) Measures, Integrals and Martingales, Cambridge University Press.



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Orario lezioni

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Note

Giugno e Luglio 2020

A causa dell'emergenza sanitaria per la diffusione del covid-19 l'esame si svolge in via telematica (webex). Le modalità di esame per via telematica sono inserite nella pagina Moodle del corso. E' assolutamente necessaria l'iscrizione all'esame (le iscrizioni chiudono una settimana prima dell'esame).

June and July 2020 

Due to the health emergency for the spread of covid-19, the exam takes place electronically (webex). A PDF file with the procedures of the exam is in the Moodle page of the course. Registration to the exam is absolutely necessary (registration closes one week before the exam). 

 

 

 

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Ultimo aggiornamento: 31/05/2020 18:00