Laurea magistrale in Matematica

Un corso di base di Calcolo delle Probabilità e buone basi di Analisi Matematica. Una discreta capacità nel risolvere problemi di calcolo delle probabilità di livello di base.

I corsi di Processi Stocastici, Statistica dei processi stocastici e Equazioni Differenziali Stocastiche utilizzano concetti e metodi introdotti in questo corso.

I temi e gli strumenti presentati sono parte essenziale della formazione di tipo probabilistico- statistica dello studente, ma sono anche indispensabili per la formazione di un matematico moderno. Lo studente ripensa inizialmente a tematiche già incontrate negli studi triennali affrontandole a un livello più astratto che gli consente poi di  arrivare a controllare con competenze alcuni metodi tipici della teoria avanzata del calcolo delle probabilità, utili sia nelle applicazioni che in vista di attività di ricerca. Con questo corso lo studente rafforza le sue competenze di base,  sviluppa un nuovo livello di astrazione, si abitua alla lettura di più testi affrontando tematiche di interesse sia teorico che applicativo. Le esercitazioni mirano a migliorare le capacità di problem solving. Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile necessaria per  gli studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi.

Al termine del corso gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti del Calcolo delle Probabilità basati sulla Teoria della Misura. Hanno acquisito abilità nell'impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici che applicativi che utilizzino strumenti avanzati quali vettori aleatori, attese condizionali, proprietà di convergenza,  kernel di transizione e  martingale. Sono in grado di dimostrare autonomamente risultati che discendano dalla teoria studiata e riescono ad orientarsi su testi matematici del settore diversi dal libro di testo.

Il corso comprende 72 ore di lezioni di cui 16 ore sono di esercitazioni.

Esame finale con prova scritta seguita da prova orale in un giorno distinto da quello dello scritto. La prova scritta richiede la soluzione di esercizi e il superarla è requisito indispensabile per essere ammessi alla prova orale. La prova orale comprende una discussione sulla prova scritta e la risposta a due domande. Durante la prova scritta si può consultare il libro di testo.

Il corso prevede lezioni ed esercitazioni. Durante il corso viene suggerita la soluzione di esercizi assegnati

Richiami di misure ed integrazione: spazi misurabili (standard), funzioni misurabili, misure, integrazione, misure immagini, integrali indefiniti, teorema di Radon-Nikodym. Spazi di probabilità: variabili aleatorie, medie, spazi L^p e integrabilità uniforme, informazione e determinabilità, indipendenza, leggi 0-1, kermnel e spazi prodotto. Convergenze: convergenza quasi certa, in probabilità e in L^p, convergenza debole e rappresentazioni di Skorohod, leggi dei grandi numeri e sue generalizzazioni, teorema del limite centrale e sue generalizzazioni. Medie condizionate: probabilità condizionata e distribuzione condizionata, costruzione di alcuni degli spazi di probabilità fondamentali (successione di prove indipendenti, catene di Markov, processi stocastici). Filtrazioni e tempi di arresto. Martingale a tempo discreto. Trasformazioni e convergenza di martingale. Cenni alle martingale a tempo continuo.

Libro di testo:

E. Cinlar (2011) Probability and Stochastics, Springer

Ulteriori letture suggerite:

P. Billingsley (2012) Probability and Measure, Wiley.

R.L. Schilling (2017) Measures, Integrals and Martingales, Cambridge University Press.

Giugno e Luglio 2020