- Oggetto:
- Oggetto:
Sistemi Dinamici e Teoria del Caos (DM 270) - a.a. 2013/14
- Oggetto:
Dynamical Systems and Chaos Theory
- Oggetto:
Anno accademico 2013/2014
- Codice dell'attività didattica
- MFN0560
- Docente
- Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 - Vedi il campo note per i dettagli
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/07 - fisica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
- Contenuti dei corsi obbligatori di algebra lineare, analisi, geometria e fisica matematica della Laurea Triennale.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di ampliare le conoscenze di base della teoria dei sistemi dinamici continui e discreti, rispetto a quanto svolto nei corsi di laurea di I livello, e di fornire un'introduzione ai sistemi caotici, con particolare attenzione ai metodi e agli strumenti matematici necessari per trattare modelli utilizzabili nelle applicazioni, ad esempio in fisica, economia, dinamica delle popolazioni.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Saper interpretare da un punto di vista modellistico le equazioni che definiscono un sistema dinamico (continuo o discreto). Saper analizzare qualitativamente il comportamento del sistema in dipendenza dei parametri. Paragonare il comportamento previsto dall’analisi qualitativa con i risultati numerici ottenuti al computer. Comprendere, in un certo numero di casi, quale classe di sistemi dinamici ammette un determinato comportamento. Comprendere il concetto di sistema deterministico caotico.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame prevede la discussione di un sistema dinamico assegnato, precedentemente studiato dal candidato con l'uso di Maple o di altro software appropriato; a questo segue la risposta a una domanda teorica estratta al momento da una lista nota agli studenti; l'esame si conclude con la presentazione in forma seminariale di un argomento (in genere, il contenuto di un articolo su rivista) assegnato in precedenza dal docente.
- Oggetto:
Programma
- Richiami generali sui sistemi dinamici discreti e continui, che si suppone gli studenti abbiano già incontrato nel corso della LT. Definizione di stabilità (Liapunov) e criteri di stabilità dei punti critici.
- Sistemi discreti: biforcazioni di mappe iterate. Coniugazione topologica di mappe e dinamica simbolica. Mappe caotiche. Entropia metrica e topologica di una mappa. Insiemi invarianti per mappe iterate. Definizioni di dimensione frattale.
- Richiami sui sistemi autonomi lineari: classificazione del comportamento attorno all'equilibrio. Analisi qualitativa di sistemi autonomi nonlineari. Varietà stabile e instabile di un punto a sella. Orbite omocline ed eterocline. Caso planare: teorema di Poincaré-Bendixson.
- Biforcazioni di mappe continue. Stabilità strutturale. Studio qualitativo di sistemi in più dimensioni dipendenti da parametri. Applicazioni a modelli reali.
- Aspetti geometrico-differenziali e topologico-differenziali: sistemi dinamici su varietà, campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente. Trasversalità e teoria dell'intersezione, grado topologico di una mappa, numero di Lefschetz di una mappa e indice di un campo vettoriale.
- Cenni ai modelli di evoluzione di grandezze distribuite nello spazio: evoluzione di popolazioni, equazione del traffico, modelli di reazione-diffusione.
- Review of elementary notions on discrete and continuous dynamical systems. Stability of critical points and Liapunov theorems.
- Bifurcations of iterated maps. Topological conjugacy of maps; Bernoulli shift and symbolic dynamics. Chaotic maps. Metric entropy and topological entropy of maps. Invariant sets of iterated maps. Fractals and fractal dimensions.
- Review of planar autonomous ODEs: classification of phase portraits. Qualitative analysis of nonlinear autonomous systems. Stable and unstable manifold of a saddle point. Homoclines and eteroclines. Poincaré-Bendixson theorem.
- Bifurcations of ODEs. Structural stability. Concrete examples from physics, biology, social sciences.
- Global behavior of ODEs: relation with differential geometry and topological geometry. Dynamical systems on differentiable manifolds, vector fields as sections of the tangent bundle. Introduction to transversality and intersection theory. Degree of a map, Lefschetz number and index of a vector field.
- Introduction to evolution equations for space-dependent quantities: ecology, traffic, reaction-diffusion models.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
J. Hale - H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag 1991, ISBN 0-387-97141-6. R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical System, Perseus Publishing Co. 1989, ISBN 0-201-13046-7. M. Hirsch - S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press 1974, ISBN 0-12-349550-4. E. Beltrami, Mathematics for Dynamical Modeling, Academic Press 1987, ISBN 0-12-085555-0
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