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Statistica dei Processi Stocastici

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STATISTICS OF STOCHASTIC PROCESSES

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Anno accademico 2023/2024

Codice dell'attività didattica
MAT0221
Docente
Elvira Di Nardo (Titolare)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Buona conoscenza della teoria della probabilità e degli strumenti di base dei processi stocastici. In particolare è necessario conoscere
- legge dei grandi numeri e teoremi del limite centrale
- teoria della misura
- medie condizionate
- spazi L^p rispetto a una misura di probabilità
- Spazi di Hilbert (nei testi di riferimento vi sono note a riguardo)
Si raccomanda di aver seguito il corso di Istituzioni di Probabilità.
Good knowledge of probability theory and the basics of stochastic processes. In more details you will need
- laws of large numbers and central limit theorems
- measure theory
- conditional expectations
- L^p spaces with respect to a probability measure
- Hilbert spaces (some introductory material on this topic is present in the text books)
It is strongly recommended to attend the course Istituzioni di Probabilità.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'obiettivo delle lezioni è quello di introdurre l'inferenza statistica per le serie temporali, tenendo conto sia degli aspetti teorici/matematici sia della loro applicazione pratica all'analisi dei dati.

Vengono prese in considerazione le serie temporali, con l'obiettivo di caratterizzarne le proprietà, il comportamento asintotico, le stime e le previsioni, l'analisi spettrale e la decomposizione in componenti di tendenza e stagionali. Tali concetti vengono applicati all'analisi di dati simulati o di database esistenti, al fine di dedurre e validare un modello a supporto dei dati.

 

 

The goal of lectures is to introduce statistical inference for time series taking into account both the theoretical/mathematical aspects and their practical application to data analysis.

Time series are considered, aiming to characterize properties, asymptotic behavior, estimations and forecasting, spectral analysis as well as decomposition in trend and seasonal components. Such concepts are applied to the analysis of simulated data or existing databases in order to infer and validate a model supporting the data.

 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine del corso, lo studente avrà compreso come modellare le serie temporali con particolare attenzione alla previsione e alla stima dei momenti, alla costruzione dello spettro e alla scelta dei parametri dei modelli di serie temporali. Inoltre, ci si aspetta che lo studente sia in grado di utilizzare modelli matematici/statistici per una migliore identificazione della dipendenza e per la previsione del comportamento del sistema dinamico stocastico sotto osservazione.

 

At the end of the course, the student will have understood how to model time series with focus on forecasting and estimation of the moments, of the spectrum and of the parameters of time series models. Moreover it is expected that the student is able to employ mathematical/statistical models for a better identification of the dependence and for forecasting the behaviour of the stochastic dynamic system under observation.  

 

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Modalità di insegnamento

  L'insegnamento comprende 48 ore di lezioni. Il corso avrà inizio il 26 Febbraio 2024 e proseguirà secondo calendario vigente. E' vivamente consigliata l'iscrizione al corso sia su Campunet che su Moodle. 

  There will be 48 hours of lessons. The course will begin on February 26, 2024 and will continue according to the current schedule. Enrollment to the course on both Campunet and Moodle is strongly recommended.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame finale con prova scritta seguita da prova orale in un giorno distinto da quello dello scritto. Voto in trentesimi. Per l'ammissione all'orale, la prova scritta ha validità solo per l'appello cui la prova si riferisce. 

 

Final examination with written test followed by oral test on a separate day from the written test. The mark is out of thirty.  For admission to the oral examination, the written test is valid only for the month to which the test relates.

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Programma

Stazionarietà debole e forte. Funzioni di autocovarianza e autocorrelazione. Sequenze IID e sequenze WN. Ergodicità, applicazione della legge di Kolmogorov 0-1, generalizzazioni della legge dei grandi numeri, teorema di Birkhoff, ergodicità L^2. Filtri a media mobile: stima del trend e della componente stagionale. Processi lineari. Operatori di backward e di differenza. Filtri lineari tempo-invarianti: convergenza quasi certa e in media quadratica. Invertibilità. q-dipendenza e q-correlazione. Modelli a media mobile. Causalità: modelli autoregressivi di ordine p. Equazioni di Yule-Walker per il modello AR(p). Come costruire modelli ARMA la cui soluzione sia causale, invertibile e non ridondante. Funzione di autocorrelazione parziale. Scelta e stima dei parametri. Previsione: Media condizionata e miglior predittore lineare. Decomposizione di Wold. Generalizzazione ai modelli ARIMA e SARIMA. Rappresentazione spettrale di processi semplici. Densità spettrale. Teorema di Bochner. Processi a memoria breve e a memoria lunga. Periodogramma.

Weak and strong stationarity. Autocovariance and autocorrelation functions. IID sequences and WN sequences. Ergodicity, application of Kolmogorov 0-1 law, generalizations of law of large numbers, Birkhoff theorem, L^2 ergodicity. Moving average filters: estimation of trend and seasonal component. Linear processes. Backward shift and difference operators. Time invariant linear filters: convergence a.s. and in mean square.  Invertibility. Q-dependence and q-correlation: Moving Average models. Causality: AutoRegressive models of order p. Yule-Walker equations for AR(p) model. How to construct ARMA models whose solution is causal, invertible and not redundant. Partial autocorrelation function. Choosing and estimating the parameters. Forecasting: Conditional mean and best linear predictor. Wold's decomposition. Generalization to ARIMA and SARIMA models. Spectral representation of simple processes. Spectral density. Bochner Theorem. Short memory and long memory processes. Periodogram.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Introduction to Time Series and Forecasting
Anno pubblicazione:  
2016
Editore:  
Springer
Autore:  
Peter J. Brockwell , Richard A. Davis
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Time Series Analysis and Its Applications, With R Examples
Anno pubblicazione:  
2017
Editore:  
Springer Cham
Autore:  
Robert H. Shumway , David S. Stoffer
ISBN  
Obbligatorio:  
Si


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Time Series: Theory and Methods
Anno pubblicazione:  
1991
Editore:  
Springer
Autore:  
Peter J. Brockwell , Richard A. Davis
ISBN  
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

 

- Rob J Hyndman and George Athanasopoulos: Forecasting: Principles and Practice (3rd ed)

 

- Rob J Hyndman and George Athanasopoulos: Forecasting: Principles and Practice (3rd ed)



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 12/09/2023 10:41

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