- Oggetto:
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Metodi Variazionali
- Oggetto:
Variational Methods
- Oggetto:
Anno accademico 2015/2016
- Codice dell'attività didattica
- MFN1661
- Docenti
- Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Marino Badiale (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Istituzioni di Analisi MatematicaElements of Measure Theory and Functional Analysis
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
La gran parte dei modelli matematici prevede che si realizzino configurazioni stazionarie o di equilibrio rispetto a funzioni energia o costo. Le geodetiche minimizzano la lunghezza della curva che connette due punti, nello stesso modo in cui le traiettorie minimizzano l'azione Lagrangiana, così come gli autovalori rendono stazionario il quoziente di Reyleigh, e molti altri esempi si possono trovare sia nella matematica che nelle sue applicazioni.Questo corso si propone di famigliarizzare gli studenti con gli strumenti del Calcolo delle Variazioni ed i metodi di minimax e di illustrare alcune applicazioni notevoli e non banali: disuguaglianze funzionali, superfici di area minima, problemi semilineari ellittici ed equazione di Schrodinger non lineare, al fine di costruire soluzioni non banali e via via più complesse di problemi non lineari in vari rami delle scienze.
Questo insegnamento si colloca naturalmente nell'ambito dell'Analisi non lineare e si inserisce bene in molti percorsi di Analisi Matematica, sia monotematici, sia interdisciplinari. Trattando anche di questioni inerenti problemi di natura geometrica e di meccanica quantistica, può essere di utile complemento anche in percorsi di Geometria (Riemanniana in particolare) o di Fisica Matematica.
Il corso è proposto anche agli studenti della Scuola di Dottorato in Matematica Pura e Applicata dell'Università e del Politecnico di Torino.
The major part of mathematical models foresee the realization of stationary or equilibrium configurations with respect to energy or cost functions. Geodesics minimize the length of a curve connecting two points, in the same manner that trajectories minimize the Lagrangian action, eigenvalues are stationary values of the Rayleigh quotient and many other significant examples can be found in Mathematics and its applications.This course is intended to make the students acquainted with the techniques of the Calculus of Variations and minimax methods and to illustrate some relevant and non trivial applications: functional inequalities, minimal ara surfaces, semilinear elliptic problems and nonlinear Schrodinger equation, to the aim of constructing non trivial solutions, more and more complex of nonlinear problems of interest in different areas.
The natural context of this course is Nonlinear Analysis. Hence it is well suited in many routes of Mathematical Analysis, both of monothematic kind and in interdisciplinary addresses. Dealing also with issues related to geometric problems and to quantum mechanics, it can be an useful completion also in routes of Geometry (Riemannian) or Matematical Physics.
This course is offered also to students of the PhD School in Pure and Applied Mathematics of the University and Politecnico of Turin.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Ci si attende che gli studenti conoscano i principali metodi variazionali e sappiano applicarli a problemi non lineari.Students are expected to know the main Variational Methods and to be able to apply the to Nonlinear problems.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezioni frontali, svolte sia alla lavagna, sia eventualmente con l'utilizzo di tablet.Frontal lectures, both at the blackboard, and possibly with electronic devices.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame orale sul contenuto del corsoOral exam on the course content- Oggetto:
Programma
Formula di area e di coarea, disuguaglianza isoperimetrica, disuguaglianza di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, disuguaglianza di Polya-Szego. Richiami sugli spazi di Sobolev.
Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni. Funzionali lagrangiani. Il problema dell'esistenza del minimo. Applicazioni: geodetiche minimizzanti, principio di minima azione. Approccio variazionale alla teoria spettrale degli operatori differenziali autoaggiunti. Il Teorema di Fischer-Courant.Equazioni semilineari ellittiche. L'approccio variazionale al problema dell'esistenza. Proprieta qualitative delle soluzioni.
Principio del massimo. Teorema di Gidas-Ni-Nirenberg sulla simmetria radiale delle soluzioni positive.
Migliori costanti di immersione: caso critico e sottocritico. Equazione di Schrodinger non lineare. Superfici minime: il problema di Plateau.The area and coarea formulas, isoperimetric inequality, Sobolev-Gagliardo-Nirenberg inequality, Polya-Szego inequality. Sobolev spaces.
The direct method of the Calculus of Variation. Lagrangian functionals and normal integrands. The problem of existence of minimizers. Applications: minimal geodesics, minimal action principle. The variational approach to the aigenvalues of compact self-adjoint differential operators. The Fischer-Courant Theorem.Semilinear elliptic problems. The variational approach to the existence problem. Qualitative properties of solutions. Maximum principle. The Gidas-Ni-Nirenberg Theorem and radial symmetry of positive solutions. Best embedding constants: the subcritical and critical cases. The nonlinear Schrodinger equation. Area minimizing surfaces: the Plateau problem.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- M. Badiale, E. Serra, Semilinear elliptic equations for beginners, Springer Verlag, Berlin, 2011
Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011
Michael Struwe, Variational Methods and Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer Verlag, 2008
M. Badiale, E. Serra, Semilinear elliptic equations for beginners, Springer Verlag, Berlin, 2011Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011
Michael Struwe, Variational Methods and Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer Verlag, 2008
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Orario lezioni
Giorni Ore Aula - Oggetto:
Note
METODI VARIAZIONALI, MFN1661, 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (Caratterizzante). I docenti sono disponibili ad eventuali spostamenti di orario, se richiesti dagli studenti, compatibilmente con la disponibilità di aule.
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