- Oggetto:
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Metodi Variazionali
- Oggetto:
Variational Methods
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Anno accademico 2021/2022
- Codice dell'attività didattica
- MAT0211
- Docenti
- Prof. Marino Badiale (Titolare del corso)
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Inglese
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
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Istituzioni di Analisi Matematica. Elementi introduttivi sugli spazi di Sobolev (parte del programma del corso di Analisi superiore).Elements of Measure Theory and Functional Analysis. Basics on Sobolev spaces.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
La gran parte dei modelli matematici prevede che si realizzino configurazioni stazionarie o di equilibrio rispetto a funzioni energia o costo. Le geodetiche minimizzano la lunghezza della curva che connette due punti, nello stesso modo in cui le traiettorie minimizzano l'azione Lagrangiana, così come gli autovalori rendono stazionario il quoziente di Reyleigh, e molti altri esempi si possono trovare sia nella matematica che nelle sue applicazioni.Questo insegnamento si propone di familiarizzare gli studenti con gli strumenti del Calcolo delle Variazioni ed i metodi di minimax e di illustrare alcune applicazioni notevoli e non banali (quali: problema delle geodetiche, problemi ellittici semilineari, equazione di Schrödinger non lineare, disuguaglianze funzionali, etc.) al fine di costruire soluzioni non banali e via via più complesse di problemi non lineari in vari rami delle scienze.
Questo insegnamento si colloca naturalmente nell'ambito dell'Analisi non lineare e si inserisce bene in molti percorsi di Analisi Matematica, sia monotematici, sia interdisciplinari. Trattando anche di questioni inerenti problemi di natura geometrica e di meccanica quantistica, può essere di utile complemento anche in percorsi di Geometria (Riemanniana in particolare) o di Fisica Matematica.
L'insegnamento è proposto anche agli studenti della Scuola di Dottorato in Matematica Pura e Applicata dell'Università e del Politecnico di Torino.
The major part of mathematical models foresee the realization of stationary or equilibrium configurations with respect to energy or cost functions. Geodesics minimize the length of a curve connecting two points, in the same manner that trajectories minimize the Lagrangian action, eigenvalues are stationary values of the Rayleigh quotient and many other significant examples can be found in Mathematics and its applications.This course is intended to make the students acquainted with the techniques of the Calculus of Variations and minimax methods and to illustrate some relevant and non trivial applications (like geodesic problem, semilinear elliptic problems, nonlinear Schrödinger equation, functional inequalities, etc.) to the aim of constructing non trivial solutions, more and more complex of nonlinear problems of interest in different areas.
The natural context of this course is Nonlinear Analysis. Hence it is well suited in many routes of Mathematical Analysis, both of monothematic kind and in interdisciplinary addresses. Dealing also with issues related to geometric problems and to quantum mechanics, it can be an useful completion also in routes of Geometry (Riemannian) or Mathematical Physics.
This course is offered also to students of the PhD School in Pure and Applied Mathematics of the University and Politecnico of Torino.
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Risultati dell'apprendimento attesi
Ci si attende che gli studenti conoscano alcuni strumenti classici nello studio di equazioni alle derivate parziali, i principali metodi variazionali e sappiano applicarli a problemi non lineari.Students are expected to know some classical tools used in the study of partial differential equations, the main Variational Methods and to be able to apply the to Nonlinear problems.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La frequenza è facoltativa ma consigliata.Le lezioni saranno svolte in presenza. Quanti sono seriamente impossibilitati a presentarsi in aula potranno seguire le lezioni da remoto via WebEx. I link per le lezioni sono:
- https://unito.webex.com/meet/marino.badiale (Prof. Badiale),
- https://unito.webex.com/meet/paolo.caldiroli (Prof. Caldiroli).
ATTENZIONE! Il corso inizerà il 22 marzo. Gli studenti interessati sono fortemente invitati a seguire il terzo modulo di Analisi Superiore (Prof. Terracini) dal 22 febbraio al 17 marzo. In tale modulo si presentano argomenti essenziali per poter seguire efficacemente le lezioni del corso di Metodi variazionali.
The course consists of 48 hours of lectures held at the blackboard. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Attendance is non-obligatory, recommended.WARNING! The lectures will start on Marc 22nd. Interested students are strongly suggested to follow the third part of the course of Advanced Analysis (Prof. Terracini) from February 22nt to March 17th. Such part contains essential topics to well understand the program of the lecture course of Variational Methods.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame è una prova orale consistente nell’esposizione di argomenti (enunciati, dimostrazioni ed eventuali esempi) richiesti dal docente tra quelli elencati nel programma. Non sono previsti esercizi. E' possibile sostenere l'esame in inglese. Il voto è in trentesimi.The exam is an oral test, in which the candidate is asked to present some topic (main results, proofs and possible examples) chosen by the professor among those ones listed in the programme. No exercise is expected. It is possible to sit the examination in English. The score is expressed out of 30.- Oggetto:
Programma
Principio di Dirichlet. Il problema dell'estensione armonica via principio di Dirichlet. Lemma di regolarità di Caccioppoli-Weyl. Funzionali integrali: condizioni di Carathéodory, buona positura dei funzionali e loro continuità negli spazi Lp. Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni per funzionali convessi e coercivi. Derivabilità direzionale dei funzionali integrali. Equazioni di Eulero-Lagrange (forma integrale e forma differenziale). Problema delle geodetiche. Problema di Plateau. Simmetrizzazione di Schwarz. Disuguaglianza di Polya-Szegö. Disuguaglianza di Faber-Krahn. Problemi ellittici asintoticamente lineari e semilineari: esistenza di soluzioni via minimizzazione vincolata, teorema del passo montano, teorema del punto di sella. Equazioni di Schrödinger non lineari con potenziali limitati e non (perdita di compattezza). Problemi ellittici a crescita critica.The Dirichlet principle. The problem of the harmonic extension via the Dirichlet principle. Caccioppoli-Weyl regularity lemma. Integral functionals: Caratheodory conditions, well poseness and continuity in the Lp spaces. The direct method of the Calculus of Variations for convex coercive functionals. Directional derivatives of integral functionals and Euler-Lagrange equations (weak form and differential form). The geodesics problem. The Plateau problem. Schwarz symmetrization. Polya-Szegö inequality. Faber-Krahn inequality. Asymptotically linear and semilinear elliptic problems: existence results via constrained minimization and the mountain pass theorem. Nonlinear Schrödinger equations with bounded and unbounded potentials (phenomena of lack of compactness). Elliptic problems with critical growth.Testi consigliati e bibliografia
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Orario lezioni
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