Laurea magistrale in Matematica

Concetti di base di topologia generale: funzioni continue, omeomorfismi, topologia quoziente.

Concetti di base di algebra: gruppi, azioni di gruppi su insiemi, anelli, moduli su anelli commutativi.

I prerequisiti sono trattati negli insegnamenti di algebra e geometria della laurea triennale; in particolare, le parti di topologia degli insegnamenti di Geometria 2 e Geometria 3. Gli studenti che hanno seguito Geometria 4 sono facilitati.

Questo insegnamento può essere utile per chi vuole seguire Geometria Superiore e Geometria Algebrica.

Questo insegnamento si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle tecniche algebriche in topologia quali l'omotopia, l'omologia e la coomologia. Queste conoscenze sono essenziali in geometria e utili in diverse altre discipline quali la fisica matematica e l'analisi su varietà differenziabili.

La struttura teorica di questo insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di media difficoltà nel campo della topologia algebrica.

In particolare, l'insegnamento prevede:

• obiettivi formativi teorici:  abitudine all'uso di un  linguaggio matematico rigoroso; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia algebrica e alle sue applicazioni ad altre parti della matematica;
• obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo in un contesto astratto; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare dimostrazioni simili a quelle viste a lezione.

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà:

• avere padronanza delle tecniche proprie della topologia algebrica
• aver compreso il significato geometrico e topologico di tali tecniche
• avere la capacità di applicare quanto appreso in esempi specifici.

Categorie e funtori.

Richiami di algebra ed elementi di algebra omologica. Complessi di catene (cocatene) e loro omologia (coomologia)

Omologia simpliciale, omologia singolare e sue proprietà omotopiche, successione di Mayer-Vietoris, omologia relativa e escissione. CW complessi. Omologia cellulare. Teorema di paragone su CW complessi. Gli assiomi di Eilemberg-Steenrod.

Rilevanti applicazioni dell'omologia. Teorema di Brouwer d'invarianza della dimensione topologica. Teorema del punto fisso di Brouwer. Il teorema di Borsuk-Ulam. Endomappe di sfere: teoria del grado. Dimostrazione topologica del teorema fondamentale dell'algebra. Teorema di separazione di Jordan-Brouwer.

Coomologia e dualità. Cup-product e anello di coomologia. Prodotti tensoriali. Funtori Tor ed Ext. Il teorema dei coefficienti universali. Il teorema di Kunneth.

Orientazione e dualità su manifolds.

 

L'insegnamento è svolto nel primo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale articolate in lezioni ed esercitazioni.

Si ricorda a tutti gli studenti interessati a questo insegnamento di registrarsi il prima possibile, utilizzando l'apposito form a fondo pagina, in modo da avere un elenco utile per ogni comunicazione urgente.

La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso dell'insegnamento. Ci saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. La valutazione avverrà mediante un voto espresso in trentesimi.

Gli studenti possono sostenere l'esame, a loro scelta, in italiano o inglese.

Saranno assegnati periodicamente agli studenti degli esercizi da risolvere, che saranno poi corretti/discussi in aula, con la collaborazione degli studenti stessi.