- Oggetto:
- Oggetto:
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità
- Oggetto:
Advanced Probability
- Oggetto:
Anno accademico 2022/2023
- Codice dell'attività didattica
- MAT0200
- Docente
- Elvira Di Nardo (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
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Un insegnamento di base di Calcolo delle Probabilità e buone basi di Analisi Matematica. Una discreta capacità nel risolvere problemi di calcolo delle probabilità di livello di base.An undergrauate level class of Probability and good abilities in real analysis are necessary to understand Advanced Probability. Good abilities in elementary probabilistic problem solving are also necessary for the success in this class.
- Propedeutico a
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Gli insegnamenti di Processi Stocastici, Statistica dei processi stocastici e EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche utilizzano concetti e metodi introdotti in questo insegnamentoStochastic Processes, Statistics for Stochastic Processes and EDS-Stochastic Dfferential Equations make use of concept and tools introduced in this course.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
I temi e gli strumenti presentati sono parte essenziale della formazione di un matematico moderno, sia di natura teorica che applicativa. All'inizio delle lezioni, vengono presentate tematiche già incontrate negli studi triennali, affrontandole a un livello più astratto. In tal modo, oltre a rafforzare le conoscenze di base, l'insegnamento offre la possibilità di acquisire competenze su alcuni metodi tipici della teoria avanzata del calcolo delle probabilità, utili sia per applicazioni che per attività di ricerca. Tali metodi implicano lo sviluppo di un nuovo livello di astrazione necessario per affrontare argomenti più complessi. Le esercitazioni mirano a migliorare le capacità di problem solving. Il lavoro richiesto per questo insegnamento è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi.
The arguments and tools presented in this class are essential for the training of a modern mathematician: be it of theoretical or of applicative nature. A new level of abstraction is needed to be developed with the aim to tackle more complex topics. At the beginning, the elementary arguments of the probability theory are presented, addressed at a more abstract level. In this way, not only basic knowledge is rethought, but new skills are acquired on some methods typical of advanced probability theory, useful both for applications and for research activities. The exercises aim to improve problem solving skills. The work required is a useful first step for the development of a flexible mindset, useful for third level studies or for entering different work environments.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine delle lezioni, gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti del Calcolo delle Probabilità basati sulla Teoria della Misura. Hanno acquisito abilità nell'impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici che applicativi che utilizzino strumenti avanzati quali le attese condizionali, le proprietà di convergenza, le funzioni caratteristiche e le martingale. Sono in grado di dimostrare autonomamente risultati che derivano dalla teoria studiata e riescono ad orientarsi su testi matematici del settore diversi dal libro di testo.At the end of the lectures, students attain a detailed knowledge of the foundations of the theory of probability and related topics in measure theory. They attain good ability in probabilistic problem solving being able to deal both with theoretical and applied problems related with conditional expectation, convergence features, characteristic functions and martingales. They become able to prove new results related with the studied theory, furthermore they become able to learn using different textbooks.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento comprende 72 ore di lezioni di cui 16 ore sono di esercitazioni. Il corso si svolgerà in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.Il corso avrà inizio il 28 Settembre e proseguirà secondo calendario. E' vivamente consigliata l'iscrizione al corso sia su Campunet che su Moodle.
There will be 72 hours of lessons, including 16 hours of in class exercises. The course will be in the presence, except for exceptions, in accordance with the issues of the university.The course will start on September 28th and will continue according to the calendar. It's highly recomended to enroll in the course on Campusnet and Moodle.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame finale con prova scritta seguita da prova orale in un giorno distinto da quello dello scritto. Voto in trentesimi. Le prove di esame saranno effettuate in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.La prova scritta richiede la soluzione di esercizi e il superarla è requisito indispensabile per essere ammessi alla prova orale. La prova orale comprende una discussione sulla prova scritta e la risposta a due domande. Durante la prova scritta si può consultare il libro di testo. Per l'ammissione all'orale, la prova scritta ha validità solo per l'appello cui la prova si riferisce.Final exam includes written and an oral tests. The two tests are scheduled on different dates. The mark is out of thirty. The exams will be carried out in the presence, except for different issues of the university. Written test requests the solution of some exercises and is mandatory to pass this test to be admitted to the oral test.The oral examination includes a discussion on the written test as well as the answer to two questions. Students can use textbook during the written test. Written test hold untill the next oral
exam.- Oggetto:
Attività di supporto
L'insegnamento prevede lezioni ed esercitazioni. Durante le lezioni vengono assegnati degli esercizi da risolvere autonomamente.The course include exercises classes and extra exercises are suggested as homework.- Oggetto:
Programma
Richiami di calcolo delle probabilità; costruzione di misure di probabilità e variabili aleatorie; integrazione rispetto a misure di probabilità; kernel di transizione; variabili aleatorie indipendenti; leggi 0-1; misure prodotto e distribuzioni su R^n; somme di variabili aleatorie. Costruzione di spazi di probabilità per modellare esperimenti casuali. Convergenza di variabili aleatorie: quasi certa, in probabilità, in distribuzione, in media. Convergenza e funzioni caratteristiche: leggi dei grandi numeri e teorema del limite Centrale (richiami). Attese condizionate e distribuzioni condizionate. Martingale a tempo discreto, tempi di arresto e scomposizione di Doob. Diseguaglianze di martingala e proprietà di convergenza per martingale a tempo discreto.Overview of elementary probability. Construction of probability measures and random variables. Integrals over probability measures. Transition kernels. Independent random variables. 0-1 Laws. Product measures and distributions on Rn. Sums of random variables. Probability spaces for modeling random experiments. Convergence of sequences of random variables: almost sure, in probability, in distribution, in mean. Weak convergence and characteristic functions: laws of large numbers and central limit theorem. Conditional expectation and probability. Discrete time martingales, stopping time. Doob decomposition and martingale inequalities. Convergence properties of discrete time martingales.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro di testo:
Cinlar Probability and Stochastics Springer
Ulteriori letture suggerite:Probability and Measure, P. Billingsley
Measures, Integrals and Martingales, R.L. Schilling
Probability, A. Shiryaev
Sulla pagina Moodle del corso sono disponibili:
- registrazioni delle lezioni svolte nell'a.a. 20/21
- registrazioni sulle soluzioni degli esercizi da svolgere autonomamente
- testi e soluzioni di esercizi, alcuni dei quali svolti alle esercitazioni
- materiale supplementare
- esempio di prova scritta
- elenco dettagliato degli argomenti svolti in riferimento al libro di testo
Textbook: Cinlar Probability and Stochastics SpringerFurther suggested books:
Probability and Measure, P. Billingsley
Measures, Integrals and Martingales, R.L. Schilling
Probability, A. Shiryaev
On Moodle page of the course are available:
- recordings of the a.y. 20/21 video lectures
- recordings of tutorials on the homework
- texts and solutions of exercises, some of which were carried out at the tutorials in class
- supplementary materials
- example of a written test
- detailed list of topics with the reference to the textbook
- Oggetto:
Orario lezioni
- Oggetto:
Note
Modalità di verifica/esame: Esame scritto e orale.Assessment / examination method: Written and oral exam.- Oggetto:
