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Oggetto:
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Equazioni differenziali

Oggetto:

Differential Equations

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Anno accademico 2019/2020

Codice attività didattica
MFN1421
Docente
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti

Analisi matematica 1, 2 e 3. Geometria 1.

Mathematical Analysis 1, 2 and 3. Geometry 1.
Oggetto:

Sommario del corso

Oggetto:

Obiettivi formativi

Questo corso si propone di presentare un'introduzione alle equazioni alle derivate parziali fondamentali che modellizzano fenomeni stazionari (equazione di Laplace e di Poisson), diffusivi (equazione del calore), di trasporto (equazione del trasporto) e ondulatori (equazione delle onde). Per tali problemi vengono discussi i principali risultati della teoria classica e alcuni metodi di risoluzione. La trattazione teorica è corredata dall'esposizione di alcune applicazioni. Pertanto tale corso ben si colloca sia in un percorso teorico, sia in un percorso modellistico-applicativo.

This course is intended to present an introduction to the fundamental partial differential equations describing stationary phenomena (Laplace and Poisson equation), propagation phenomena by diffusion (heat equation), by transport (transport equation) and wave motions (wave equation). On these issues the main results of the classical theory as well as some methods of resolution are discussed. Some applications are also displayed. Therefore this course is well suited both in a curriculum of Pure Mathematics and in a curriculum of Applied Mathematics.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà conoscere i principali risultati e i metodi classici per lo studio delle equazioni di Laplace, Poisson, trasporto, calore e onde.

The student should be able to know some fundamental results and classical methods for the study of Laplace, Poisson, transport, heat and wave equations.

Oggetto:

Programma

  1. Introduzione: modellizzazione di fenomeni deterministici e di problemi di natura geometrica mediante le equazioni alle derivate parziali.
  2. Funzioni armoniche: proprietà della media, principio del massimo, regolarità, teorema di Liouville.
  3. Equazione di Poisson: soluzione fondamentale del laplaciano, identità di Stokes, soluzione dell'equazione di Poisson in forma integrale.
  4. Problema dell'estensione armonica: soluzione in serie di Fourier nel caso 2-dim, formula di Poisson sulla palla n-dim.
  5. Problema di Dirichlet: unicità, esistenza, principio di Dirichlet.
  6. Equazione del trasporto: metodo delle caratteristiche, leggi di conservazione e onde d'urto, soluzioni deboli, modelli di traffico.
  7. Equazione del calore: soluzione fondamentale, proprietà delle soluzioni, principio del massimo, unicità, metodo dell'energia.
  8. Equazione delle onde: formula di d'Alambert, metodo di separazione delle variabili, metodo delle medie sferiche e formula di Kirchhoff, metodo della discesa di Hadamard e formula di Poisson. 

  1. Introduction: PDE's as models for deterministic phenomena and for some geometric-kind problems.
  2. Harmonic functions: mean-value formulas, maximum principle, regularity, Liouville theorem.
  3. Poisson's equation: fundamental solution of the Laplacian, Stokes identity, integral representation of solutions.
  4. Harmonic extensions: solution on the disc (Fourier series), Poisson formula for the n-dimensional ball.
  5. Dirichlet problem: uniqueness, existence, Dirichlet principle.
  6. First-order equations: the method of characteristics, conservation laws and shock waves, weak solutions, models of traffic.
  7. Heat equation: fundamental solution, properties of solutions, maximum principle, uniqueness, energy methods.
  8. Wave equation: the d'Alambert formula, the method of separation of variables,  solutions by spherical means and the Kirchhoff formula, the Hadamard's method of descent and the Poisson formula. 
Oggetto:

Modalità di insegnamento

Lezioni frontali, svolte sia alla lavagna, sia eventualmente con l'utilizzo di tablet.

Frontal lectures, both at the blackboard, and possibly with electronic devices.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale sul programma del corso.

Essendo tale insegnamento previsto anche per il Corso di Laurea triennale in Matematica, per sostenere l’esame è necessario preliminarmente presentare al docente un certificato con l’elenco degli esami sostenuti nel Corso di Laurea triennale.

Oral exam on the contents of the course.

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Testi consigliati e bibliografia

  • Dispense (a cura del docente).
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS (2010)
  • F. John, Partial Differential Equations. Springer (1978)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali. Springer (2010)

  • Lecture Notes (by the lecturer).
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS (2010)
  • F. John, Partial Differential Equations. Springer (1978)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali. Springer (2010)
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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
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    Ultimo aggiornamento: 11/04/2019 14:39

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