- Oggetto:
Teoria dei numeri e applicazioni
- Oggetto:
NUMBER THEORY AND APPLICATIONS
- Oggetto:
Anno accademico 2024/2025
- Codice attività didattica
- MAT0366
- Docente
- Francesco Amoroso (Titolare)
- Corso di studio
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno, 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/02 - algebra
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Orale
- Tipologia unità didattica
- corso
- Prerequisiti
- Il corso richiede la conoscenza della teoria di base di gruppi, anelli e campi coperta nei corsi di Algebra della LT. È sicuramente preferibile (ma non indispensabile) aver seguito il corso di Teoria dei Numeri ed un corso di Geometria Algebrica.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Prima parte: introduzione alle curve ellittiche e Teorema di Mordell-Weil
Scopo dell'insegnamento è fornire un'introduzione alla teoria aritmetica delle curve ellittiche. Più precisamente, l'obiettivo finale della prima parte del corso è la dimostrazione del Teorema di Mordell-Weil sulla struttura dei punti razionali su una curva ellittica (nel caso particolare di una curva definita su un campo di numeri) e la nozione nozione di altezza di Néron-Tate e delle sue proprietà. Saranno trattati altri argomenti più avanzati, tempo permettendo.Seconda parte: forme modulari e curve modulari.Scopo di questa parte è di introdurre alla teoria delle forme modulari e delle curve modulari. Verrà mostrato come costruire le curve modulari, oggetti che parametrizzano le curve ellittiche con una struttura di livello, e verranno mostrati i principali teoremi di struttura sugli spazi delle forme modulari. Si mostreranno alcuni dei profondi legami che esistono tra questi contesti.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Ci si aspetta che gli studenti acquisiscano una conoscenza dei concetti e dei risultati discussi nel corso che permetta la risoluzione di esercizi e problemi e li metta in grado di affrontare la letteratura più recente in questo campo.
- Oggetto:
Programma
Prima parte:
- Richiami di geometria algebrica.
- Curve ellittiche ed equazioni di Weierstrass.
- Legge di gruppo su una curva ellittica.
- Isogenie fra curve ellittiche.
- Modulo di Tate di una curva ellittica.
- Teorema di Mordell-Weil su Q
- Altezze su spazi proiettivi.
- Altezze su curve ellittiche.
- Teorema di Mordell-Weil.
Seconda parte:
- forme modulari come funzioni olomorfe, gruppi di congruenza.
- serie di Eisenstein e forme cuspidali.
- operatori di Hecke e diamond operators.
- forme cuspidali primitive
- curve ellittiche su C, integrali ellittici e teorema di uniformizzazione.
- azione dei sottogruppi di congruenza, curve modulari X_0(N) e X_1(N) come superfici di Riemann.
- differenziali e forme modulari.
- curve modulari come curve algebriche.
- cenni su argomenti avanzati.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Il corso si terrà in presenza.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame prenderà spunto dalla discussione orale di problemi assegnati durante il corso.
Il voto dell'esame è espresso in trentesimi.
- Oggetto:
Attività di supporto
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- The arithmetic of elliptic curves
- Anno pubblicazione:
- 2009
- Editore:
- Springer-Verlag
- Autore:
- J. H. Silverman
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- J.H. Silverman, "Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves", Springer- Verlag, 1994
- F. Diamond and J. Shurman, "A first course in modular forms", Springer-Verlag, 2005- Oggetto:
Note
- Registrazione
- Aperta
- Oggetto:
