Laurea magistrale in Matematica

Teoria dei numeri e applicazioni

NUMBER THEORY AND APPLICATIONS

Anno accademico 2024/2025

The course requires knowledge of the basic theory of groups, rings and fields covered in the LT Algebra courses. It is certainly preferable (but not essential) to have followed the Number Theory course and an Algebraic Geometry course.

Sommario insegnamento

• Obiettivi formativi
• Risultati dell'apprendimento attesi
• Programma
• Modalità di insegnamento
• Modalità di verifica dell'apprendimento
• Attività di supporto
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Strumenti didattici
• Scheda del corso

Obiettivi formativi

Prima parte: introduzione alle curve ellittiche e Teorema di Mordell-Weil
Scopo dell'insegnamento è fornire un'introduzione alla teoria aritmetica delle curve ellittiche. Più precisamente, l'obiettivo finale della prima parte del corso è la dimostrazione del Teorema di Mordell-Weil sulla struttura dei punti razionali su una curva ellittica (nel caso particolare di una curva definita su un campo di numeri) e la nozione nozione di altezza di Néron-Tate e delle sue proprietà. Saranno trattati altri argomenti più avanzati, tempo permettendo.

Seconda parte: forme modulari e curve modulari.Scopo di questa parte è di introdurre alla teoria delle forme modulari e delle curve modulari. Verrà mostrato come costruire le curve modulari, oggetti che parametrizzano le curve ellittiche con una struttura di livello, e verranno mostrati i principali teoremi di struttura sugli spazi delle forme modulari. Si mostreranno alcuni dei profondi legami che esistono tra questi contesti.

First part: introduction to elliptic curves and Mordell-Weil theorem
The aim of the course is to provide an introduction to the arithmetic theory 
of elliptic curves. More precisely, the final objective of the first part of 
the course is the proof of the Mordell-Weil Theorem on the structure 
of rational points on an elliptic curve (in the particular case of a curve 
defined on a number field) and the notion of height of Néron-Tate and its 
properties. Other more advanced topics will be covered, time permitting.

Second part: modular shapes and modular curves. The purpose of this part 
is to introduce the theory of modular shapes and modular curves. We will show 
how to construct modular curves, objects that parameterize elliptic curves 
with a level structure, and we will show the main structure theorems on the 
spaces of modular shapes. We will show some of the profound links that exist 
between these contexts.

Risultati dell'apprendimento attesi

Ci si aspetta che gli studenti acquisiscano una conoscenza dei concetti e dei risultati discussi nel corso che permetta la risoluzione di esercizi e problemi e li metta in grado di affrontare la letteratura più recente in questo campo.

Programma

Prima parte:
- Richiami di geometria algebrica.
- Curve ellittiche ed equazioni di Weierstrass.
- Legge di gruppo su una curva ellittica.
- Isogenie fra curve ellittiche.
- Modulo di Tate di una curva ellittica.
- Teorema di Mordell-Weil su Q
- Altezze su spazi proiettivi.
- Altezze su curve ellittiche.
- Teorema di Mordell-Weil.

Seconda parte:
- forme modulari come funzioni olomorfe, gruppi di congruenza.
- serie di Eisenstein e forme cuspidali.
- operatori di Hecke e diamond operators.
- forme cuspidali primitive
- curve ellittiche su C, integrali ellittici e teorema di uniformizzazione.
- azione dei sottogruppi di congruenza, curve modulari X_0(N) e X_1(N) come superfici di Riemann.
- differenziali e forme modulari.
- curve modulari come curve algebriche.
- cenni su argomenti avanzati.

Modalità di insegnamento

Il corso si terrà in presenza.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame prenderà spunto dalla discussione orale di problemi assegnati durante il corso.

Il voto dell'esame è espresso in trentesimi.

Attività di supporto

- J.H. Silverman, "Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves", Springer- Verlag, 1994
- F. Diamond and J. Shurman, "A first course in modular forms", Springer-Verlag, 2005

Note

• Materiale didattico
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