Laurea magistrale in Matematica

Istituzioni di Analisi Matematica (DM 270) - 6 cfu - a.a. 2011/12

Anno accademico 2015/2016

Sommario insegnamento

• Obiettivi formativi
• Risultati dell'apprendimento attesi
• Programma
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Strumenti didattici

Obiettivi formativi

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA,  laurea magistrale
a. a.  2011/2012
PROGRAMMA D'ESAME ( 6 CFU )

Si ricorda che le parti dei quaderni tra *** e &&& sui quaderni sono complementi e approfondimenti non facenti parte del programma.

1)   Spazi metrici e spazi normati. Punti fissi di contrazioni. Operatori lineari. Equazioni integrali.

Distanze, norme, disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski. Spazi di Banach. Completezza di C(K). Operatori lineari limitati. Lo spazio L(X;Y) e la sua completezza. Inverso di un operatore limitato. Serie di Neumann.  G(X,Y) è aperto. L'applicazione i(A)=A-1 è continua. Equazioni integrali in C([a,b]): cenni sull’applicazione del teorema delle contrazioni e caso dei nuclei separabili.

(Quaderno 32. Capitolo 1: 1.1 e 1.2. Capitolo 3: 3.1, 3.2 con solo lettura relativamente a exp(tA), 3.3, 3.4 senza il teorema a pag. 58, 3.5 con solo lettura delle maggiorazioni degli errori)

2)   Spazi di Hilbert

Forme sesquilineari  Hermitiane definite positive. Disuguaglianza di Schwarz. Spazi preHilbertiani e spazi di -Hilbert. Identità della mediana. Proiezioni su un convesso e disuguaglianze variazionali. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Sistemi e basi ortonormali. Serie di Fourier generalizzate: disuguaglianza di Bessel, convergenza, completezza. Teorema di rappresentazione di Riesz.

(Quaderno 32. Capitolo4: 4.1 senza il teorema a pag.65, 4.2, 4.3, 4.4 senza teorema a pag. 75)



3)    I teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale

Insiemi rari e magri; spazi di Baire e proprietà generiche. Uno spazio metrico completo è uno spazio di Baire. Il teorema di uniforme limitatezza. Convergenza forte di operatori lineari.  Il teorema dell'applicazione aperta.  Il teorema del grafico chiuso. Enunciato del teorema di Hahn-Banach (forma analitica).   

(Quaderno 32. Capitolo 7: 4.1 senza teorema sui limiti delle funzioni continue, 7.2, solo lettura di 7.3, 7.4, e solo lettura di 7.5)

4)    Misura e integrazione.

spazi di misura. Funzioni misurabili a valori reali: criteri di misurabilità, operazioni algebriche, limiti puntuali. Misure complete e proprietà vere q.o. Teorema di Egorov. Convergenza in misura (definizione ed enunciati). Funzioni semplici e loro integrali. Integrale di Lebesgue astratto: definizione, proprietà elementari, sigma-additività, assoluta continuità. Teoremi sulla convergenza: teorema di Lebesgue e di Beppo-Levi. Definizione dello spazio L1(X, A,) e sua completezza. Convergenza in L1 e convergenza in misura. Cenni sull’estensione di misure (definizione ed enunciati, sigma-subadditività della misura esterna). Cenni sugli spazi Lp.

(Quaderno 7. Capitolo 1: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 senza dimostrazioni sui legami tra convergenza in misura e q.o.; Capitolo 2: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 fino alla completezza di L^1; Capitolo 4:solo presentazione delle definizioni e degli enunciati dei risultati)

Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione dei concetti, delle strutture e dei risultati fondamentali dell’Analisi funzionale e della Teorie della misura, attraverso un’ampia ed articolata visione panoramica dei numerosi temi principali e delle loro interconnessioni, accompagnata da dimostrazioni rigorose di molti teoremi, selezionati sia per la loro importanza, sia per il valore paradigmatico delle dimostrazioni . Queste conoscenze sono essenziali per uno studio di livello magistrale ed eventualmente successivo in molte discipline matematiche. L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame con capacità critica di analizzare sia il ruolo relativo delle ipotesi, sia la portata conseguente delle tesi.

Risultati dell'apprendimento attesi

Spazi di Banach. Operatori lineari continui. Spazi di Hilbert. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti Spazi di funzioni continue su compatti: Stone-Weierstrass, Equicontinuità e compattezza. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell’Analisi funzionale.Covergenze forti e deboli. Teoremi di punto fisso. Teoremi di min-max. Equilibri di Nash. Spazi di misura. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue astratto.Spazi Lp

Programma

A.Negro – Elementi di Analisi Funzionale, Aprile 2005, Quaderni del Dipartimento di Matematica, n.32 A.Negro – Teoria della misura, Giugno 2001, , Quaderni del Dipartimento di Matematica, n.7 e i testi citati in bibliografia. Per la bibliografia si vedano le citazioni dei due quaderni.

Orario lezioni

Note

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA, MFN0511 (DM 270), 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione teorica avanzata.

Modalità di verifica/esame: Scritto di ammissione all'orale.

In sede di esame scritto si proporranno esercizi la cui soluzione prevede una selezione ed uno sviluppo autonomo di risultati collegati ali contenuti del corso. Tuttavia lo scritto sara' sostanzialmente un test di accesso all'orale. Sara' richiesto di dare definizioni, enunciare risultati, fornire qualche breve passaggio di deduzioni, risolvere qualche esercizio, in particolare sul passaggio al limite sotto segno di integrale. In sede di esame orale il candidato dovrà saper esporre i concetti fondamentali e i risultati fondamentali con un’analisi critica dei loro collegamenti e del contesto nel quale si collocano. Il candidato dovrà inoltre essere in grado di esporre in modo chiaro e convincente qualche dimostrazione rigorosa.

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