EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche (DM 270) - a.a. 2013/14 - Laurea magistrale in Matematica

Oggetto:

EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche (DM 270) - a.a. 2013/14

Oggetto:

EDS-STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

Oggetto:

Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica

MFN1648

Docente

Prof. Enrico Priola (Titolare del corso)

Corso di studi

Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)

Anno

1° anno

Periodo didattico

Primo semestre

Tipologia

D.M. 270 TAF B - Caratterizzante

Crediti/Valenza

SSD dell'attività didattica

MAT/06 - probabilita' e statistica matematica

Modalità di erogazione

Tradizionale

Lingua di insegnamento

Italiano

Modalità di frequenza

Facoltativa

Tipologia d'esame

Orale

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso si propone di mettere l’allievo nelle condizioni di poter comprendere la formulazione matematica di vari modelli delle scienze applicate e della Matematica Finanziaria in cui intervengono le equazioni differenziali stocastiche.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e capacità di comprensione

Il corso utilizza alcuni concetti e strumenti che sono sviluppati nei corsi di Istituzioni di Calcolo delle Probabilità e Istituzioni di Analisi Matematica e che vengono brevemente richiamati nelle prime lezioni; oltre a questo si utilizzano strumenti della matematica di base appresi nella laurea triennale (obiettivo 1). Le dimostrazioni dei risultati principali del corso vengono svolte completamente e richiedono una certa capacità di astrazione (obiettivo 3). Esse mostrano importanti legami esistenti tra l'Analisi e la Probabilita'.

Per migliorare le abilità di lettura e di approfondimento (obiettivo 2) il docente propone la lettura di alcuni articoli scientifici. Alcuni articoli avranno carattere storico per consentire di comprendere le motivazioni scientifiche che hanno determinato specifici passi della teoria stocastica (obiettivo 8). Lo studente si impadronisce di strumenti e concetti utili per la modellizzazione di realtà suggerite da altre scienze (obiettivi 4 e 5). Inoltre, insieme al corso di Processi Stocastici fornisce competenze per avvicinarsi alla ricerca in contesti stocastici (obiettivo 9). Il corso fornisce anche concetti introduttivi per l'avviamento alla ricerca nel campo delle equazioni paraboliche di Kolmogorov (obiettivo 9).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Gli studenti sono stimolati a riconoscere nuove problematiche, suggerendo nuove soluzioni. Gli studenti vengono motivati a individuare nuovi problemi, sia teorici che applicativi, riconoscendone gli aspetti essenziali (obiettivi 1 e 2). Durante le lezioni gli studenti partecipano con domande e interventi, abituandosi a sostenere i loro ragionamenti e a sintetizzare problemi complessi (obiettivi 3, 5, 8).

Autonomia di giudizio

Le lezioni abituano a sostenere ragionamenti con argomentazioni logiche, identificando gli aspetti fondamentali del problema trattato. Lo studente e' stimolato a sviluppare argomenti collegati all'argomento della lezione in base ai propri interessi di tipo teorico o applicativo (obiettivi 1,2, 5).

Abilità comunicative

Il corso focalizza soprattutto sulla comunicazione orale, in italiano (obiettivi 1, 2). La maggioranza degli articoli proposti, cosi come alcuni seminari a cui gli studenti vengono invitati, sono in lingua Inglese (obiettivo 3)

Capacità di apprendimento

Buone competenze nella teoria delle equazioni differenziali stocastiche possono permettere ulteriori studi di terzo livello in ambito matematico, sia in contesti interdisciplinari che coinvolgano economia, biologia, fisica o altre scienze (obiettivo 2). La natura dei problemi affrontati nel corso favorisce lo sviluppo di una mentalità flessibile, aperta all’utilizzo di diverse tecniche di studio (obiettivo 1).

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza dell’integrale stocastico e dei metodi fondamentali nello studio delle Equazioni Differenziali Stocastiche. Conoscenza dei legami tra le equazioni differenziali stocastiche e le equazioni paraboliche di Kolmogorov. Capacità di applicare le equazioni differenziali stocastiche a problemi concreti delle scienze applicate.

Oggetto:

- Richiami di calcolo delle probabilità
- Moto Browniano (costruzione con le funzioni di Haar; proprietà di regolarità delle traiettorie; misura di Wiener)
- Integrale stocastico (principali proprietà e confronto con l'integrale di Riemann-Stieltjes)
- Formula di Ito e sue applicazioni
- Equazioni differenziali stocastiche (teoremi di esistenza e unicità)
- Proprietà di Markov delle soluzioni di equazioni stocastiche e legami con le equazioni paraboliche di Kolmogorov
- Applicazioni delle equazioni stocastiche alla matematica finanziaria e alla dinamica delle popolazioni

- Reminder of basic notions of probability theory
- Brownian motion (its construction by means of Haar functions; regularity properties of trajectories; the Wiener measure)
- Stochastic integral (basic properties; comparison between stochastic integral and the Riemann-Stieltjes integral)
- Ito formula and its applications
- Stochastic differential equations (existence and uniqueness theorems)
- Markov property of solutions of stochastic differential equations; connections between stochastic differential equations and parabolic Kolmogorov equations

- Applications of stochastic differential equations to Mathematical Finance and Population Dynamics

Descrizione

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

P. Baldi: Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, Pitagora Ed., Bologna, 2000.

Appunti del docente.

I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New York, Second Edition, 1991.

Oggetto:

Note

La prima lezione si potranno concordare eventuali modifiche all'orario per venire incontro agli studenti che intendono seguire il corso.

EDS-EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE, MFN1648, 6 CFU: 6 CFU, MAT/06, TAF B (caratterizzante), Ambito formazione teorica avanzata.

Modalità di verifica/esame: esame orale con voto (viene richiesta una conoscenza di base sui principali argomenti trattati nel corso).

Oggetto: