Laurea magistrale in Matematica

Analisi di funzioni di piu' variabili, e basi di analisi funzionale.

Scopo del corso:

Il corso si propone di fornire un'introduzione ai modelli matematici da cui originano le piu'  importanti equazioni alle derivate parziali studiate negli altri corsi.

Da un lato, lo scopo sara' quello di mostrare in quali contesti hanno origine e applicazione le  principali famiglie di PDE, con particolare attenzione a problemi di fisica matematica (meccanica dei solidi e dei fluidi, ottica), biologia (dinamica di popolazioni e formazione di  pattern), e di grafica computerizzata.

In secondo luogo, nella derivazione dei modelli metteremo in evidenza cio' che li differenzia e  li accomuna, allo scopo di mostrare che esiste  un approccio modellistico rigoroso e generale  che permette di descrivere problemi di natura anche molto diversa.

Infine,  verranno presentati alcuni metodi classici di risoluzione per le PDE lineari del II ordine  e nonlineari del II ordine, affinche' gli studenti abbiano gli strumenti per studiare, ameno in  casi particolari importanti,  il comportamento qualitativo delle soluzioni. Questo passo e' fondamentale per vari motivi: primo, per mettere in evidenza la relazione che esiste tra la struttura matematica delle PDE che vengono studiate e  il comportamento effettivo del  sistema fisico o biologico in esame; secondo, per validare i vari modelli; terzo, per imparare  ad interpretare i dati in output in qualsiasi campo della modellistica matematica ottenuti con metodi piu' sofisticati.

I risultati dell'apprendimento sono:

- conoscenza operativa delle principali PDE lineari del II ordine e nonlineari del I ordine.

- conoscenza operativa dei metodi classsici di soluzione, mediante separazione di variabili, serie di Fourier e rappresentazioni integrali

- capacita' di collocare  nel loro contesto modellistico i problemi da cui le equazioni originano

- porre le basi per una giustificazione formale del metodo di Galerkin e agli elementi finiti

La prova orale, di durata al minimo 30 minuti, consiste nella discussione di almeno due argomenti presentati nel corso.

1) Leggi di conservazione:

1.1) Conservazione della massa/densità. La nozione di flusso e il ruolo dei termini di sorgente.  Trasporto per advezione, convezione, diffusione.

1.2) Equazioni e sistemi del I ordine.

- il metodo delle caratteristiche nel caso lineare e nonlineare;
- onde di shock e rarefazione.
- equazione di Burgers (con vari esempi dalla meccanica dei fluidi):
- modello del traffico di Lighthill-Witham-Richardson
- il modello di Gurtin-McCamy per la crescita di popolazioni strutturate;
- sistemi lineari iperbolici
- sistemi quasilinear iperbolici: shallow waters
- il problema di Riemann per shallow waters -  il solutore di Riemann

1.3)  Equazioni paraboliche.
- L'equazione del calore. Significato fisico delle condizioni al contorno (Neumann, Dirichlet,  Robin).
- Equazioni di reazione diffusione in fisica dello stato solido e in dinamica delle popolazioni.
- Metodi di soluzione: il nucleo del calore , separazione delle variabili  e la trasformata di  Fourier.  Esempi.  Buona e cattiva posizione.

- L'equazione di Black-Scholes; risoluzione esplicita per European Call Options

1.4) Equazioni e sistemi di reazione-diffusione.

- Equazioni di reazione-diffusione e loro origine in vari contesti
- Dipendenza dal dominio.
- Formazione di pattern in sistemi chimici e biologici. Instabilita' di Turing e applicazioni alla biologia.

2) La legge di conservazione della quantita' di moto: equazioni  iperboliche.

2.1)  l'equazione delle onde.
- Metodi elementari per la risoluzione dell'equazione delle onde: serie di Fourier e separazione delle variabili. Armoniche.
- Principio di D'Alembert e caratteristiche.

- corda e membrana vibrante

3) Modelli indipendenti dal tempo: equazioni ellittiche.

- L'equazione di Laplace;
- L'equazione di Poisson;
- L'equazione di Helmoltz;
- Metodi elementari di risoluzione;
- Funzioni di Green;
- appplicazione al calcolo di probabilita' di prima uscita e tempi di prima uscita per il moto Browniano

4) Cenni sulle equazioni integrali: equazioni di Fredholm e Volterra.

5) l'equazione dell'iconale  in grafica computerizzata.

Dispense fornite dal docente