Laurea magistrale in Matematica

Concetti di base di topologia generale: funzioni continue, omeomorfismi, topologia quoziente.

Concetti di base di algebra: gruppi, azioni di gruppi su insiemi, anelli, moduli su anelli commutativi.

Il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle tecniche algebriche in topologia quali l’omotopia, l'omologia e la coomologia. Queste conoscenze sono essenziali in geometria, e utili in diverse altre discipline quali la fisica matematica e l’analisi su varietà differenziabili.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati fondamentali della topologia lagebrica quali l'omologia e la coomologia la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari (obiettivo 1) da un punto di vista più generale e necessariamente astratto (obiettivo 3), vengono utilizzate metodologie tipiche dello sviluppo del pensiero matematico moderno (obiettivo 4). La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare evoluzioni più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica (obiettivo 5) che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata (obiettivo 9). Viene proposta una bibliografia differenziata con lo scopo di spingere gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti trattati (obiettivo 2).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel corso (obiettivi 1,2,3,4,5,6).

Autonomia di giudizio (making judgements) L'organizzazione del corso, mirata soprattutto ad ottenere una motivata vasta generalizzazione di risultati di natura elementare in un ambito più astratto richiede agli studenti di affinare le capacità logico-deduttivo coniugandole con lo sforzo di riconoscere in una situazione "nota" le proprietà essenziali su cui fondare una successiva generalizzazione (obiettivi 1,2,3). La letteratura di supporto, anche in lingue diverse, e la risoluzione personale o in gruppo di problemi favoriscono l'approfondimento individuale e il lavoro autonomo (obiettivi 4,6,7).

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono prevalentemente in inglese, gli studenti si abituano in questo modo all’uso di lingue diverse dall'italiano (obiettivo 1). Durante l’esame, che si svolge oralmente, lo studente e' sollecitato a esprimersi in modo tecnicamente corretto e a utilizzare criticamente i concetti appresi.   (obiettivo 2)

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica (obiettivi 1,2).

Lo studente dovrebbe acquisire:

* padronanza delle tecniche proprie della topologia algebrica

* comprensione del significato geometrico e topologico di tali tecniche

* capacità di applicare quanto appreso in esempi specifici.

La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Ci saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi (scelti in una lista comunicata alla fine del corso e disponibili sulla pagina Moodle del corso).

Richiami su gruppo fondamentale, categorie e funtori, azioni di gruppo, rivestimenti topologici, relazioni tra rivestimenti e gruppo fondamentale.

Algebra omologica. Omologia simpliciale, omologia singolare e sue proprietà omotopiche, successione di Mayer-Vietoris, omologia relativa e escissione. Cenni di omologia cellulare.

Coomologia e dualità.

 

KOSNIOWSKI, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988.

FULTON, Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1995.

HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.

GREENBERG & HARPER, Algebraic Topology - A First Course, Perseus Publishing, 1981.

LEE, Introduction to Topological Manifolds, second edition, Springer, 2011.