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Equazioni della Fisica Matematica

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Equations of Mathematical Physics

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Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
MAT0189
Docente
Paolo Cermelli (Titolare)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Analisi di funzioni di piu' variabili, e basi di analisi funzionale. Equazioni differenziali stocastiche ed equazione di Fokker-Planck, formula di Dynkin (Non obbligatori).
Calculus of several variables and basic functional analysis. Stochastic differential equations and the Fokker Planck equation, the Dynkin formula (not compulsory).
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Scopo dell'insegnamento:

L' insegnamento si propone di fornire un'introduzione ai modelli matematici  da cui originano le piu'  importanti equazioni alle derivate parziali studiate negli altri corsi. In particolare, tratteremo soprattutto  modelli di fenomeni evolutivi. L'insegnamento è in parte complementare all'insegnamento di Equazioni Differenziali (http://www.matematica.unito.it/do/corsi.pl/Show?_id=yt2t) (MFN1421).

Da un lato, lo scopo sara' quello di mostrare in quali contesti hanno origine e applicazione le  principali famiglie di PDE, con particolare attenzione a problemi di fisica matematica (meccanica dei solidi e dei fluidi, ottica), biologia (dinamica di popolazioni e formazione di  pattern), e di grafica computerizzata.

In secondo luogo, nella derivazione dei modelli metteremo in evidenza cio' che li differenzia e  li accomuna, allo scopo di mostrare che esiste  un approccio modellistico rigoroso e generale  che permette di descrivere problemi di natura anche molto diversa.

Infine,  verranno presentati alcuni metodi classici di risoluzione per le PDE lineari del II ordine  e nonlineari del II ordine, affinche' gli studenti abbiano gli strumenti per studiare, ameno in  casi particolari importanti,  il comportamento qualitativo delle soluzioni. Questo passo e' fondamentale per vari motivi: primo, per mettere in evidenza la relazione che esiste tra la struttura matematica delle PDE che vengono studiate e  il comportamento effettivo del  sistema fisico o biologico in esame; secondo, per validare i vari modelli; terzo, per imparare  ad interpretare i dati in output in qualsiasi campo della modellistica matematica ottenuti con metodi piu' sofisticati.

The aim of the course is to discuss a number of mathematical models yielding  the fundamental PDEs studied in other courses.  Attention will be given to problem arising from Physics, Finance, Biology and Computer graphics. Further, we will try to highlight the common features of the models, showing that mathematical modeling has a deductive and rigorous nature. We will focus on models of evolutionary phenomena.

Further, we will present some classical methods of solution for linear Ist and IInd order PDEs, in order to be able to investigate, in simple cases, the qualitative behavior of solutions and its relation with the mathematical structure of the corresponding PDE.  This is fundamental in order to analyze the results of more sophisticated analytical and numerical solution techniques.

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Risultati dell'apprendimento attesi

I risultati dell'apprendimento sono:

- conoscenza operativa delle principali PDE lineari del II ordine e nonlineari del I ordine.

- conoscenza operativa dei metodi classici di soluzione, mediante separazione di variabili, serie di Fourier e rappresentazioni integrali

- capacita' di collocare  nel loro contesto modellistico i problemi da cui le equazioni originano

 

Basic knowledge of the theory of partial differential equations from the classical point of view, as a basis for their numerical analysis. Knowledge of the most important models leading to PDEs in applied mathematics.

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Programma


1) Leggi di conservazione:

1.1) Conservazione della massa/densità. La nozione di flusso e il ruolo dei termini di sorgente.  Trasporto per advezione, convezione, diffusione.

1,2) Introduzione alla meccanica dei continui. Solidi e fluidi. Le equazioni dell'elasticità. Meccanica dei fluidi, principali modelli e proprietà.

1.3) Equazioni e sistemi del I ordine.
- il metodo delle caratteristiche nel caso lineare e nonlineare;
- onde di shock e rarefazione.
- equazione di Burgers (con vari esempi dalla meccanica dei fluidi):
- modello del traffico di Lighthill-Witham-Richardson
- il modello di Lotka-Volterra- Von Foerster e Gurtin-McCamy per la crescita di popolazioni strutturate;
- sistemi lineari iperbolici
- sistemi quasilineari iperbolici: shallow waters


1.4)  Equazioni paraboliche.
- L'equazione del calore. Significato fisico delle condizioni al contorno (Neumann, Dirichlet,  Robin).
- Equazioni di reazione diffusione in fisica dello stato solido e in dinamica delle popolazioni.
- Metodi di soluzione: il nucleo del calore , separazione delle variabili  e le serie di  Fourier.  Esempi.  Buona e cattiva posizione.
- L'equazione di Black-Scholes; risoluzione esplicita per European Call Options

1.5) Equazioni e sistemi di reazione-diffusione.

- Equazioni di reazione-diffusione e loro origine in vari contesti
- Dipendenza dal dominio.
- Formazione di pattern in sistemi chimici e biologici. Instabilita' di Turing e applicazioni alla biologia.

2) La legge di conservazione della quantita' di moto: equazioni  iperboliche.

2.1)  l'equazione delle onde.
- Metodi elementari per la risoluzione dell'equazione delle onde: serie di Fourier e separazione delle variabili. Armoniche.
- Principio di D'Alembert e caratteristiche.
- corda e membrana vibrante

3) Modelli stocastici: applicazioni delle equazioni alle derivate parziali  ai processi stocastici: 

- l 'equazione di Laplace: la funzione di Green e la misura armonica.

-il calcolo di probabilita' di prima uscita e tempi attesi di prima uscita per il moto Browniano


5) Equazioni differenziali in grafica computerizzata

- l'equazione dell'iconale: applicazioni allo shape offsetting e alla ricostruzione di forme.

- filtri di diffusione. il modello di Perona-Malik

- modelli variazionali per il moto di curve ed applicazioni alla grafica computerizzata.

 


1) Conservation laws.
1.1) Conservation of mass. Flux and source terms. Advection, convection and diffusion. A crash course in continuum mechanics.
1.2) Ist order equations.
- the method of characteristics for the linear and quasilinear case;
- shock and rarefaction waves
- Burgers equation (with examples from fluid dynamics).
- the model of Lighthill-Witham-Richardson for highway traffic.
- the Lotka-Volterra- Von Foerster model for the growth of structured populations - the Gurtin- McCamy generalization;
- linear hyperbolic systems
-  quasilinear hyperbolic systems: shallow waters
- the Riemann problem for the shallow water equation: the Riemann solver.

1.3)  Parabolic equations.
- the heat equation, physical meaning of the boundary conditions (Neumann, Dirichlet,  Robin).
- solution techniques: the heat kernel, separation of variables and Fourier series. Examples. Ill and well-posed problems.
- the Black-Scholes equation; explicit solution for European Call Options

1.4) Reaction-diffusion systems and equations
- reaction-diffusion equations  and their origin in different contexts
- dependence from the domain size
- pattern formation in chemical and biological systems: Turing instability

2)Conservation of momentum and hyperbolic equations
2.1) The wave equation.
- elementary techniques for the solution of the wave equations: the D'Alembert formula, separation of variables and Fourier series.
- characteristics.
- vibrating string and membranes: harmonics.

3))Stochastic models: applications of partial differential equations to stochastic processes.

- Laplace equation- Green functions; and the harmonic measure.
- Applications to the computation of the expected first exit time and the first exit probability for the Brownian motion.

4) Some integral equations: Fredholm and Volterra.


5) Differential equations in computer graphics

- the eikonal equation: applications to shape offsetting and shape from shading

- diffusion filters: Perona Malik and backward parabolic filters.

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Modalità di insegnamento

 

“L’insegnamento
consta di 48 ore di lezione svolte in aula”


The course consists of 48 hours of classroom lessons.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova orale, di durata al minimo 30 minuti, consiste nella discussione di almeno due argomenti presentati durante le lezioni. Il voto è in trentesimi. Alternativamente, potranno essere previste modalità miste di valutazione, che comprenderanno un breve test scritto e una presentazione orale di argomenti del corso approfonditi individualmente.

Oral exam with discussion of at least two topics presented in the course. Different exam modes could be activated, involving a written test and presentations of topics discussed in class.

 

Testi consigliati e bibliografia

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Dispense fornite dal docente

Lecture notes available on the web site



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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 12/09/2023 10:41

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