Vai al contenuto principale
Coronavirus: aggiornamenti per la comunità universitaria / Coronavirus: updates for UniTo Community
Oggetto:
Oggetto:

Geometria Differenziale

Oggetto:

Differential Geometry

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0194
Docente
Prof. Reto Buzano (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 - Vedi il campo note per i dettagli
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano/Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Conoscenza di base di varietà differenziabili, campi vettoriali e tensoriali e forme differenziali.

Basic knowledge of smooth manifolds, vector and tensor fields, differential forms.
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

 L'insegnamento si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulla geometria Riemanniana, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi ed alla relazione fra teoria locale e teoria globale. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: lo studio delle varietà simplettiche e complesse, la fisica matematica e l'analisi su varietà differenziabili.

The course aims to provide  to the  students  the basic concepts of Riemannian geometry, paying particular attention to the examples and the relation between the local and global theory. These  concepts are preparatory to different topics, such as: the study of symplectic and complex manifolds,  mathematical physics and analysis on  differential manifolds.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà Riemanniane; saper risolvere esercizi su esempi significativi.

Learn   the fundamental  properties of  Riemannian manifolds and Lie gropus; able to solve  exercises   on significant examples.

Oggetto:

Programma

Metrica riemanniana e distanza Riemanniana. Esempi di varietà Riemanniane. Immersioni e submersioni riemanniane.

Struttura di spazio metrico su una varietà riemanniana. Isometrie.

Connessione lineare e derivata covariante. Hessiano e Laplaciano. Parallelismo. La connessione di Levi-Civita. Trasporto parallelo. Curvatura riemanniana e sue proprietà. Curvatura sezionale, curvatura di Ricci, curvatura scalare.

Derivata prima del funzionale lunghezza e geodetiche. La mappa esponenziale. Completezza metrica e Teorema di Hopf-Rinow. 

Immersioni isometriche: la seconda forma fondamentale, endomorfismo di Weingarten e le equazioni di Gauss, Codazzi-Mainardi e Ricci. Curvatura media e sottovarietà minimali. 

Varietà con curvatura sezionale constante.

Derivata seconda del funzionale lunghezza e campi di Jacobi. Alcuni teoremi fondamentali (Hadamard, Myers, Synge-Weinstein).

Tempo permettendo: il Teorema di confronto dell'Hessiano ed applicazioni (Teorema di Tompkins, Teorema di Cartan, Teorema di Preissman).

Riemannian metric and distance. Examples of Riemannian manifolds. Riemannian immersions and submersions.

Metric structure of a Riemannian manifold. Isometries.

Linear connection and covariant derivative. Hessian and Laplacian. Parallelism. The Levi-Civita connection. Parallel transport. Riemannian curvature tensor and its properties. Sectional, Ricci and scalar curvature.

First derivative of the length functional and geodesics. The exponential map. Metric completeness and the Hopf-Rinow theorem. 

Isometric immersions: the second fundamental form, Weingarten endomorphism and the Gauss, Codazzi-Mainardi and Ricci equations. Mean curvature and minimal submanifolds. 

Manifolds with constant sectional curvature. 

Second derivative of the length functional and Jacobi fields. Some fundamental theorems  (Hadamard, Myers, Synge-Weinstein).

Time permitting: the Hessian comparison theorem and applications (Tompkins theorem, Cartan's theorem, Preissman's Theorem).

Oggetto:

Modalità di insegnamento

 L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale nella modalità in presenza, Covid permettendo. Agli studenti sarà chiesto di svolgere settimanalmente una lista di esercizi, che è parte dell'esame.

IMPORTANTE: tutte le informazioni didattiche, ed il materiale, verranno date tramite la piattaforma Moodle al link
https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1686

Gli studenti sono pregati di iscriversi lì. La pagina contiene anche il link per le lezioni online.  

 

 The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of teaching operated in presence, Covid permitting. Students will be asked to do weekly a list of exercises, which is part of the exam. 

IMPORTANT: all didactic information, and the material, will be given via the Moodle platform, at the website

https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1686

Students are kindly asked to register there. The webpage alo contains the link for online lessons. 

 

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova orale consiste in domande relative alla teoria ed agli esercizi svolti, che concorreranno nella valutazione. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l’esame in inglese, se lo richiedono. 

In caso di emergenza sanitaria, l'esame si svolgerà online tramite piattafoma WebEx. Consisterà sempre in un colloquio orale, come descritto sopra. I dettagli tecnici verranno forniti nella pagina Moodle dell'insegnamento.

 

The Oral exam consists in questiona related both to the theory and to the list of exercises, which will both concurr to the final evaluation. Students from abroad will be granted the exam in English language, if wished. 

In case of health emergency, the exam will take place online via WebEx platform. It will always consist of an oral exam, as described above. Technical details will be provided on the Moodle page of the course. 

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Riemannian Geometry: a modern introduction
Anno pubblicazione:  
2006
Editore:  
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 98. Cambridge University Press, Cambridge.
Autore:  
I. Chavel
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Riemannian Geometry. Third Edition.
Anno pubblicazione:  
2016
Editore:  
Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, Cham.
Autore:  
P. Petersen
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Riemannian Geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty.
Anno pubblicazione:  
1992
Editore:  
Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA.
Autore:  
M.P. Do Carmo
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

 

1. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011

2. F. W. Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

3. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

4. M. M. Alexandrino, R. G. Bettiol, Lie groups and Geometric Aspects of Isometric Actions.

 

1. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011

2. F. W. Warner,  Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. 

3. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

4. M. M. Alexandrino, R. G. Bettiol, Lie gropups and Geometric Aspects of Isometric Actions.



Oggetto:

Insegnamenti che mutuano questo insegnamento

Oggetto:

Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 08/06/2022 15:42