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Oggetto:
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Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore

Oggetto:

Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0206
Docenti
Prof. Livia Giacardi (Titolare del corso)
Prof.ssa Francesca Ferrara (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/04 - matematiche complementari
Erogazione
A distanza
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Corsi della Laurea triennale in Matematica
Courses for the three-year degree in mathematics
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di presentare la teoria delle frazioni continue e le sue connessioni con l'analisi diofantea e l’approssimazione diofantea, con attenzione agli aspetti teorici, storici e didattici.

Questo insegnamento si colloca naturalmente nel Curriculum Storia e Didattica della matematica (curriculum Teorico) e nei suoi Percorsi Interdisciplinari, ma può essere seguito utilmente da studenti che hanno scelto altri curricula e siano interessati agli aspetti culturali della matematica.

Conoscenza e comprensione.  L'insegnamento consente di acquisire conoscenza della teoria delle frazioni continue e delle sue applicazioni (all'analisi diofantea, all’approssimazione diofantea, alla crittografia e altro) di inquadrare gli argomenti affrontati nella storia della teoria dei numeri. Riprendendo temi di base e trattandoli da punti di vista diversi, permette di rafforzarne la conoscenza. L’uso di vari libri e articoli specialistici e la lettura commentata di testi del passato hanno lo scopo di migliorare le capacità critiche dello studente. Gli esercizi di applicazione della teoria studiata, previsti dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi, a consolidare la padronanza dei concetti e dei metodi scientifici. I seminari individuali e in gruppo hanno lo scopo sia di abituare lo studente a una ricerca scientifica autonoma, sia all’uso delle conoscenze teoriche e storiche, per costruire attività didattiche per la scuola secondaria di secondo grado.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Le lezioni, gli esercizi e i seminari all’interno dell'insegnamento  sviluppano nello studente capacità di risolvere problemi, stabilendo collegamenti fra vari settori della matematica; capacità di analizzare un testo matematico sia dal punto di vista scientifico, sia da quello didattico; capacità di utilizzare le competenze acquisite, sia a fini di ricerca, sia al fine di costruire attività didattiche per le scuole secondarie a partire delle conoscenze acquisite; capacità di orientarsi nella bibliografia e nella sitografia.

Autonomia di giudizio. La triplice natura di questo insegnamento induce lo studente a migliorare le sue capacità di argomentazione e le sue capacità critiche, lo abitua a riconoscere errori o lacune nelle dimostrazioni, a riflettere sul cambiamento delle metodologie e degli strumenti matematici nel corso della storia, a elaborare in modo autonomo esempi di attività didattiche per la scuola secondaria, e a redigere esposizioni divulgative.

Abilità comunicative. La presentazione dei seminari e il successivo dibattito abituano gli studenti a esporre la loro ricerca, ad argomentare, a difendere il proprio punto di vista, utilizzando vari strumenti comunicativi. Inoltre poiché molti dei testi e degli articoli specialistici suggeriti per il corso sono in lingua inglese, lo studente si abitua a usare tale lingua per comunicazioni scientifiche.

Capacità di apprendimento. Il lavoro richiesto per questo insegnamento contribuisce a creare negli studenti una mentalità flessibile, utile sia per ulteriori studi specialistici, sia per l’insegnamento nelle scuole secondarie. Acquisiscono infatti abilità nell’impostare rigorosamente e risolvere problemi teorici, nell’affrontare lo studio critico di un testo matematico classico, nella divulgazione della matematica e nella realizzazione di attività didattiche per le scuole secondarie, utilizzando anche opportuni software. Sono in grado di impostare una ricerca autonoma.

 

This course presents the theory of continued fractions and its connections to Diophantine analysis and Diophantine approximation, with attention to the theoretical, historical and didactic aspects.

This course naturally belongs to the History and Didactics of Mathematics Curriculum (Theoretical Curriculum), but it can be usefully followed by students who have chosen other curricula and are interested in the cultural aspects of mathematics.

Knowledge and understanding. It will permit the acquisition of knowledge of the theory of continued fractions and its applications (to Diophantine analysis and Diophantine approximation, to Cryptography, etc.) and to situate the topics presented into the framework of the history of number theory. Lectures, readings, exercises and seminars within the course will develop the student’s capacity to: solve problems, establishing connections between various branches of mathematics; analyse a mathematical text from the scientific point of view; utilise the skills acquired both for purposes of research as well as of constructing educational activities for secondary schools, starting from the knowledge acquired; find one’s way around bibliographies and Internet sites.

Ability to apply knowledge and understanding.  Exercises and seminars will accustom the student on the one hand to work individually and in a group, and on the other to argue and defend his/her own point of view, using various means of communication, as well as to examine independently and in greater depth some aspects of the subject dealt with. 

Communications skills. Further, since many of the specialised texts and articles suggested for the course are in English, the student will become accustomed to using that language for scientific communication.

Learning skills.  The work required for the course will contribute to the student’s mental flexibility, useful for both further specialised studies, and teaching in secondary schools. In fact, they acquire skills in rigorously setting and solving problems, in reading and understanding a mathematical text, and in the implementation of didactic activities for secondary schools, also using appropriate software.

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Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

L’allievo acquisisce:

- Padronanza dal punto di vista teorico degli argomenti affrontati nel corso

- Conoscenza dell’evoluzione storica dei principali concetti e metodi presentati

- Capacità di usare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi

- Capacità di collocare la matematica in un contesto culturale più ampio e di elaborare esposizioni divulgative

- Capacità di utilizzare le conoscenze acquisite sia a fini di ricerca, sia per preparare attività didattiche per la scuola secondaria

- Capacità di impostare una ricerca autonoma.

The student will acquire:

- A mastery of the topic treated in the course from a theoretical point of view;

- Knowledge of the historical evolution of the principal concepts and methods presented;

- The capacity to use the knowledge acquired to solve exercises and problems;

- The capacity to situate mathematics in a broader cultural context and to elaborate expositions for a non-specialist audience;

- The capacity to utilise the knowledge acquired for research purposes, as well as for the preparation of educational activities for secondary schools;

- The capacity to set up an independent research project.

Oggetto:

Programma

Si presentano  la Teoria delle frazioni continue e le sue connessioni con l'analisi diofantea e l’approssimazione diofantea. Introduzione alle frazioni continue. L’algoritmo di Euclide. Frazioni continue sviluppo di razionali. Ridotte e loro proprietà. Equazioni diofantee lineari e frazioni continue. Sviluppo in frazioni continue di irrazionali. Ridotte di una frazione continua illimitata. Teoremi di approssimazione. Interpretazione geometrica delle frazioni continue. Frazioni continue e serie. L'equazione x^2 = ax + 1 , digressioni sulla sezione aurea. Frazioni continue periodiche pure. Teoremi. Irrazionali quadratici ridotti. Rappresentazione grafica del carattere periodico dei quozienti completi. Il teorema di Lagrange. La frazione continua sviluppo di vN (N >0, non quadrato perfetto). L’equazione di Pell x^2 - Ny^2 = +- 1. Teorema di Legendre sull’equazione x^2 - Ny^2 = - 1. Come ottenere le altre soluzioni dell’equazione di Pell a partire da quella minima. Approssimazione diofantea. Teorema di Dirichlet, teorema di Liouville, teorema di Hurwitz, successioni di Farey e loro proprietà.

In connessione con gli sviluppi teorici si illustrano i momenti più significativi della storia di questo settore della matematica attraverso la lettura critica dei testi originali. Archimede, l'approssimazione di v3 , il problema dei buoi; le "Aritmetiche" di Diofanto; Aryabhata e il metodo kuttaka per risolvere le equazioni indeterminate lineari; Bhaskara II e il metodo ciclico (cakravala); frazioni continue e calendari; l'approssimazione di irrazionali nell' "Algebra" di R. Bombelli ; P. Cataldi e le frazioni continue; P. de Fermat e la nascita della teoria dei numeri; i contributi di L. Euler e di J.-L. Lagrange alla teoria delle frazioni continue; ulteriori sviluppi.

Altre applicazioni delle Frazioni continue (dimostrazione dell'infinità dei numeri primi, risoluzione equazioni differenziali, crittografia [attacco di Wiener])

Si presentano attività didattiche per la scuola secondaria di secondo grado, coerenti con le Indicazioni curriculari (2010) per la scuola, utilizzando anche opportuni software.

This course presents the theory of continuous fractions and its connections to Diophantine analysis and Diophantine approximation. The continued fraction algorithm and Euclid’s algorithm – Finite simple continued fractions and their convergents – The representation of an irreducible rational fraction by a simple continued fraction – Linear Diophantine equations and continued fractions – Infinite simple continued fractions – The representation of an irrational number by an infinite continued fraction – Periodic continued fractions – Lagrange Theorem – Geometric interpretation of continued fractions – The equation x ^ 2 = ax + 1, digressions on the golden ratio – The series of Fibonacci – Pell's equation and its solution with continued fractions. Legendre's theorem on the equation x ^ 2 - Ny ^ 2 = - 1  – Approximation of irrationals by rationals, Theorems – Hurwitz's theorem – Farey series and their properties.

Some significant moments in the history of continued fractions are illustrated by means of a critical analysis of the original texts (Archimedes and the cattle problem; the Arithmetica of Diophantus; Aryabhatta and the kuttaka method for solving indeterminate linear equations; Bhaskara II and the cyclic (chakravala) method; approximation of irrational numbers in the Algebra of R. Bombelli; P. Cataldi and continuous fractions; P. de Fermat and the birth of number theory; the contributions of L. Euler and J.-L. Lagrange to the theory of continuous fractions, further developments).

Other applications of continued fractions (proof of the infinity of prime numbers, solving differential equations, cryptography [Wiener attack], ...)

Examples of teaching activities for upper-level secondary schools connected to aspects of theory and history will be presented, in keeping with the curricular Indicazioni (2010) for those schools, with the aid of appropriate software.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Le lezioni della durata complessiva di 48 ore (6 CFU) sono svolte in presenza con l'aiuto di presentazioni power point, video, altri materiali utili al corso, proposte di esercizi, ecc. sulla piattaforma MOODLE. Seminari diretti dal docente seguiti da discussione.

Le lezioni inizieranno il 27 settembre alle 14.30 in Aula 4.

ISCRIVERSI SU MOODLE DOVE SARANNO CARICATI IN ANTICIPO I MATERIALI DI CIASCUNA LEZIONE

 
 

The lessons (48 hours, 6 CFU) will be held in-person.

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Powerpoint presentations, videos,  exercises, other materials useful for the course, etc. will be uploaded on the MOODLE platform. 

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

Seminario tenuto dallo studente (valutato con un giudizio) durante il corso su temi complementari alle lezioni scelti in accordo con il docente. Prova orale (con voto in trentesimi) in cui si mira a valutare le competenze teoriche e storiche sulla materia del corso, e la capacità di applicarle a esercizi o problemi.

A seminar held by the student during the course on topics complementary to the lectures, chosen in agreement with the professor. An oral examination aimed at evaluating theoretical and historical knowledge of the course subjects, and the capacity of applying them to exercises and problems.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
History of Continued Fractions and Padé Approximants
Anno pubblicazione:  
1991
Editore:  
Springer-Verlag
Autore:  
C. BREZINSKI
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Aritmetica superiore. Un’introduzione alla teoria dei numeri
Anno pubblicazione:  
1994
Editore:  
Zanichelli
Autore:  
H. DAVENPORT
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Frazioni continue
Anno pubblicazione:  
1963
Editore:  
Zanichelli
Autore:  
C.D. OLDS
Obbligatorio:  
Si
Oggetto:

Testi originali e articoli saranno forniti dal docente

G. CARISTI, C. FIORI, S. INVERNIZZI, Dalle frazioni continue alla trascendenza di pi greco. Centocinquant'anni di matematica «dimenticata», Pitagora, 2012

K. ROSEN, Elementary Number Theory and its Applications, Addison-Wesley, 1993

A. WEIL, Number Theory. An Approach through History from Hammurabi to Legendre, Boston, Birkhäuser 1983.

Original texts and articles will be supplied by the professor.

G. CARISTI, C. FIORI, S. INVERNIZZI, Dalle frazioni continue alla trascendenza di pi greco. Centocinquant'anni di matematica «dimenticata», Pitagora, 2012

K. ROSEN, Elementary Number Theory and its Applications, Addison-Wesley, 1993

A. WEIL, Number Theory. An Approach through History from Hammurabi to Legendre, Boston, Birkhäuser 1983.



Oggetto:

Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 08/08/2022 12:23