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Teoria delle categorie

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CATEGORY THEORY

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Anno accademico 2024/2025

Codice attività didattica
MAT0340
Docenti
Alan Cigoli (Titolare)
Alessandro Ardizzoni (Titolare)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/02 - algebra
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Tipologia unità didattica
corso
Prerequisiti
Nessun prerequisito specifico è richiesto. Tuttavia, la conoscenza delle principali strutture algebriche (monoide, gruppo, anello, campo, spazio vettoriale) è auspicabile.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento intende dare un'introduzione ai concetti di base e ad alcuni dei risultati principali della Teoria delle Categorie, che costituisce un tema di studio e di ricerca che trova applicazioni in diversi ambiti della Matematica e delle Scienze in generale. Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento intende contribuire a sviluppare negli studenti capacità di astrazione e ragionamento, una flessibilità mentale utile ad affrontare lo studio di problemi complessi, favorire il lavoro di gruppo e l'approfondimento personale, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche.

The teaching aims to introduce the basic notions and some of the main results of Category Theory, which is a subject of study and research with applications in several fields of Mathematics and Sciences in general. In accord to the aims of training of the Study Course provided by the SUA-CdS form, the teaching aims to help the students to develop abstraction and reasoning skills, a mental flexibility useful in studying complex problems, to encourage the teamwork and the personal deepening, first stage for achieving autonomy in tackling new problems.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento gli studenti dovranno conoscere ed avere padronanza dei concetti di categoria, funtore, trasformazione naturale, limite, aggiunzione, algebra per una monade, regolarità ed esattezza.

At the end of the course, students will have to know and master the concepts of category, functor, natural transformation, limit, addition, algebra for a monad, regularity and exactness.

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Programma

Il corso tratterà parte dei seguenti argomenti:

Categorie, funtori, trasformazioni naturali. Equivalenze.
Proprietà universali, limiti e colimiti.
Funtori rappresentabili, Lemma di Yoneda.
Aggiunzioni.
Monadi e algebre.
Categorie monoidali.
Categorie regolari ed esatte.
Categorie fibrate.
Categorie additive e abeliane.
Categorie semiabeliane.
Topos elementari e topos di Grothendieck.

The course will cover part of the following topics:

Categories, functors, natural transformations. Equivalences.
Universal properties, limits and colimits.
Representable functors, Yoneda Lemma.
Adjoint functors.
Monads and algebras.
Monolidal categories.
Regular and exact categories.
Fibred categories.
Additive and abelian categories.
Semiabelian categories.
Elementary toposes and Grothendieck toposes.

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Modalità di insegnamento

L’insegnamento di articola in 48 ore complessive (6 CFU) e consisterà in lezioni frontali.

Per qualunque aggiornamento si faccia riferimento alla pagina Moodle dell'insegnamento a cui gli studenti potranno accedere cliccando il pulsante a fondo pagina.

The teaching is divided into 48 hours in total (6 credits) of classroom teaching.

For any updates, please refer to the Moodle page of the teaching to which students can access by clicking the button at the bottom of the page.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova consisterà in un colloquio orale in cui verranno discussi esercizi e risultati teorici sugli argomenti trattati nel corso. La preparazione sarà considerata adeguata (con votazione espressa in trentesimi), se gli studenti dimostreranno padronanza delle terminologie e tecniche specifiche di questo insegnamento. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l’esame in inglese.

The test will consist of an oral exam in which the students will discuss exercises and results on the topics of the course. The preparation will be considered adequate (and marked out of thirty), if the students will demonstrate mastery of terminology and of the specific techniques of this teaching. Foreign students are allowed to take the exam in English.

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Attività di supporto

Su richiesta degli studenti, sulla pagina Moodle dell'insegnamento potrà essere aperto un forum attraverso il quale potranno confrontarsi tra loro e con il docente sui temi trattati nelle lezioni.

On students request, a forum could be opened on the Moodle page of the course through which they can discuss each other and the teacher on the topics covered in the lessons.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Categories for the Working Mathematician
Anno pubblicazione:  
1998
Editore:  
Springer
Autore:  
S. Mac Lane
ISBN  
Permalink:  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Handbook of categorical algebra
Anno pubblicazione:  
1994
Editore:  
Cambridge University Press
Autore:  
F. Borceux
ISBN  
Permalink:  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Category theory in context
Anno pubblicazione:  
2016
Editore:  
Dover Publications
Autore:  
E. Riehl
ISBN  
Permalink:  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory
Anno pubblicazione:  
1992
Editore:  
Springer
Autore:  
S. Mac Lane, I. Moerdijk
ISBN  
Permalink:  
Obbligatorio:  
No


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Note

Se almeno uno studente presente in aula lo richiederà, l'insegnamento verrà svolto in Inglese. Altrimenti potrà essere tenuto in italiano.

If at least one student present in the classroom requests it, the course will be taught in English. Otherwise it can be held in Italian.

Registrazione
  • Aperta
    Apertura registrazione
    01/09/2023 alle ore 00:00
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 02/05/2024 12:23

    Location: https://matematicalm.campusnet.unito.it/robots.html
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