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Geometria 4

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Geometry 4

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Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MFN1419
Docenti
Prof. Elena Martinengo (Titolare del corso)
Prof. Carla Novelli (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Gli insegnamenti di Geometria 1, Geometria 2 e Geometria 3.

Geometry 1, Geometry 2 and Geometry 3
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento sviluppa, per circa metà del corso, la teoria dei  rivestimenti topologici con applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Si continua quindi con il Teorema di Seifert-Van Kampen ed ulteriori applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Un'applicazione importante sarà il calcolo del gruppo fondamentale e del suo abelianizzato per tutte le superfici topologiche connesse e compatte. 

Tutti questi argomenti sono di estrema importanza per intraprendere ogni tipo di ulteriore studio delle strutture gemetriche algebro-differenziali. 

L'ultima parte del corso è un'introduzione allo studio delle curve algebriche piane, ai loro punti lisci e singolari e dei principali e elementari teoremi che le descrivono. Questa introduzione ha lo scopo di avvicinare lo studente al linguaggio e ai primi concetti della geometria algebrica.

La struttura teorica dell'insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della topologia generale ed algebrica.

In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia generale e algebrica.
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.

 

 

The course develops, in a first half part, the basic concepts of the theory of covering spaces in algebraic topology, with application to computing the fundamental group of a sufficiently general topological space. Then the course will go on treating the Seifert-Van Kampen Theorem with further application to the computation of the fundamental group. A very important application will be computing the fundamental group and its abelianization, for every compact and connected topological suface.

All these arguments are extremely important for every further study of algebraic and differential geometric structures.

The last part of the course is an introduction to the study of algebraic curves, their smooth and singular points and of the main and elementary theorems that descrive them. The aim i salso to introduce the student to the language and the first concepts in algebraic geometry.

The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of general and algebraic topology.

 In particular, the course will provide:

  • theoretical training objectives: development of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to general and algebraic topology
  • applied training objectives: the student will learn computing techniques to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in the class.
Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

 

Lo studente acquisirà:

1. consapevolezza del ruolo della topologia in matematica,

2.  un consistente bagaglio di tecniche per il calcolo del più basilare invariante topologico dato dal gruppo fondamentale,

3. conoscenza basilare della teoria delle curve piane, punti lisci e singolari, coniche e cubiche piane. 

4. dimestichezza con i primi concetti di geometria algebrica elementare. 

 

  The student shall aquire

1. Knowledge about topology and its role in mathematics
2. knowledge of a significant number of  techniques for computing the most basic topological invariant given by the fundamental group
3. basic knowledge of the teory of algebraic plane curves, smooth and singular points, plane conics and cubics.                                                                     4. 4. basic skills in the first concepts of algebraic geometry.   

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Programma

1. Rivestimenti topologici

2. Sollevamento di cammini ed omotopie

3. G-ricoprimenti

4. Trasformazioni di ricoprimenti

5. Gruppo fondamentale ed omotopia (richiami)

6. Rivestimenti e gruppo fondamentale

7. Rivestimento universale

8. Sottogruppi del gruppo fondamentale e rivestimenti associati

9. Teorema di Seifert-Van Kampen

10. Insiemi algebrici e ideali di un insieme algebrico, topologia di Zariski, legame ideali (primi) – insiemi algebrici (irriducibili), teorema degli zeri di Hilbert, definizione di varietà algebrica affine.

11. Varietà algebriche affini, mappe regolari e spazio tangente.

12. Spazio proiettivo, varietà algebriche proiettive, chiusura proiettiva.

13. Curve algebriche piane, punti lisci, punti di flesso, punti singolari, proprietà.

14. Risultante e teorema di Bèzout, dimostrazione.

1. Covering spaces

2. Lifting pats and homotopies

3. G-coverings

4. Covering transformations

5. Fundamental group and homotopy (recalls)

6. Coverings and fundamental group

7. Universal covering

8. Subgroups of the fundamental group and associated coverings

9. Seifert-Van Kampen thoerem 

10. Algebraic sets and their ideals, Zariski topology, link between (prime) ideal and (irreducible) algebraic sets, Hilberts Nullstellensatz, definition of algebraic variety.

11. Affine algebraic varieties, regular maps and tangent space.

12. Projective space, projective algebraic varieties, projective closure.

13. Resultant and Bezout theorem.

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Modalità di insegnamento

 

 

L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. 

Per l’AA 22-23, le lezioni saranno svolte in presenza. Modalità didattiche alternative (streaming) potranno essere introdotte a seguito di nuove raccomandazioni di Ateneo in relazione allo stato della pandemia Covid-19.

  

 The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching. 

For the academic year 22-23, the lessons will be held in person. Alternative teaching methods (streaming) may be introduced following new University recommendations in relation to the state of the Covid-19 pandemic

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale.  Consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso dell'insegnamento. La valutazione avverrà mediante un voto espresso in trentesimi.

Per l’AA 22-23, gli esami si svolgeranno in presenza, con la sola eccezione per gli studenti e le studentesse che autodichiarano, in relazione al Covid-19, fragilità personale o positività. Modalità alternative (online) potranno essere introdotte a seguito di nuove raccomandazioni di Ateneo in relazione allo stato della pandemia Covid-19.


Final oral exam.  Questions dealing with the theory and the proofs of some of the main results. The evaluation will be given by means of a vote expressed out of thirty.

For AY 22-23, exams will be held in person, with the sole exception of students who self-report, in relation to Covid-19, personal fragility or positivity. Alternative (online) methods may be introduced following new University recommendations in relation to the state of the Covid-19 pandemic.

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Topology"

C. Kosniowsky "Introduzione alla topologia algebrica"

I. Félix,  D. Tanré "Topologie Algérique"

W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US. 

 M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.

 

F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Topology"

 C. Kosniowsky "A first course in algebraic topology"

I. Félix,  D. Tanré "Topologie Algérique"

W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US. 

 M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.

 



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    Ultimo aggiornamento: 15/09/2022 18:54

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