Geometria 4

 

Geometry 4

 

Anno accademico 2018/2019

Codice attività didattica
MFN1419
Docenti
Prof. Michele Rossi (Titolare del corso)
Dott. Elena Martinengo (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
  • Italiano
  • English

I corsi di geometria 1,2,3.
Propedeutico a
  • Italiano
  • English

Il corso è consigliato a chi intenda seguire un percorso di Geometria nella Laurea Magistrale in Matematica.
 
 

Obiettivi formativi

  • Italiano
  • English

L'insegnamento sviluppa, per circa metà del corso, la teoria dei  rivestimenti topologici con applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Si continua quindi con il Teorema di Seifert-Van Kampen ed ulteriori applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Un'applicazione importante sarà il calcolo del gruppo fondamentale e del suo abelianizzato per tutte le superfici topologiche connesse e compatte. 

Tutti questi argomenti sono di estrema importanza per intraprendere ogni tipo di ulteriore studio delle strutture gemetriche algebro-differenziali. 

L'ultima parte del corso è un'introduzione allo studio delle curve algebriche piane, ai loro punti lisci e singolari e dei principali e elementari teoremi che le descrivono. Questa introduzione ha lo scopo di avvicinare lo studente al linguaggio e ai primi concetti della geometria algebrica.

La struttura teorica dell'insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della topologia generale ed algebrica.

In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia generale e algebrica.
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.

 

 

Risultati dell'apprendimento attesi

  • Italiano
  • English
 

Lo studente acquisirà:

1. consapevolezza del ruolo della topologia in matematica,

2.  un consistente bagaglio di tecniche per il calcolo del più basilare invariante topologico dato dal gruppo fondamentale,

3. conoscenza basilare della teoria delle curve piane, punti lisci e singolari, coniche e cubiche piane. 

4. dimestichezza con i primi concetti di geometria algebrica elementare. 

 

 

Programma

  • Italiano
  • English

1. Rivestimenti topologici

2. Sollevamento di cammini ed omotopie

3. G-ricoprimenti

4. Trasformazioni di ricoprimenti

5. Gruppo fondamentale ed omotopia (richiami)

6. Rivestimenti e gruppo fondamentale

7. Rivestimento universale

8. Sottogruppi del gruppo fondamentale e rivestimenti associati

9. Teorema di Seifert-Van Kampen

10. Definizione di varietà algebrica affine, introduzione allo spazio proiettivo.

11. Definizione di curve algebriche piane, studio dei punti lisci e dei punti singolari (punti doppi e cenni ai multipli).

12. Teorema di Bèzout, dimostrazione in un caso semplice. 

13. Coniche piane: classificazione, studio dell'intersezione di coniche, sistemi lineari di coniche.

14. Cubiche piane: sistemi lineari di cubiche, legge di composizione sulle cubiche.

 

 

 

Modalità di insegnamento

  • Italiano
  • English
 

L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. 

 

Modalità di verifica dell'apprendimento

  • Italiano
  • English
Prova orale.  Consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Essendo tale insegnamento previsto anche per il Corso di Laurea triennale in Matematica, per sostenere l'esame è necessario preliminarmente presentare al docente un certificato con l'elenco degli esami sostenuti nel Corso di Laurea triennale. Può sostenere l'esame solo chi non l'ha già sostenuto nella laurea triennale. 


 

Testi consigliati e bibliografia

  • Italiano
  • English

F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Topology"

C. Kosniowsky "Introduzione alla topologia algebrica"

I. Félix,  D. Tanré "Topologie Algérique"

W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US. 

 M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.

 

 
Registrazione
  • Aperta
     
    Ultimo aggiornamento: 04/06/2018 09:46
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