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Oggetto:
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Processi Stocastici

Oggetto:

Stochastic Processes

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Anno accademico 2019/2020

Codice attività didattica
MFN0559
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Ottima conoscenza dei fondamenti del Calcolo delle Probabilità e dell'analisi.
Good knowledge of Probability and Analysis

Mutuato da
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti la capacità di utilizzare i processi di diffusione per rappresentare diverse realtà di interesse applicativo, utilizzando poi le diverse tecniche di studio per effettuare le analisi di tali modelli. Lo studente dovrà dimostrare sia la capacità di studio autonomo di argomenti, anche di tipo avanzato, collegati ai contenuti del corso sia la  capacità di collaborazione e di studio di gruppo. Alcune esercitazioni, volte alla simulazione di traiettorie di processi stocastici, utilizzano il software Mathematica.

The course is aimed at giving the students the skills to use diffusion processes to represent different realities of practical interest.  The student should use the different techniques for carrying out the analysis of the models. The student will demonstrate both the ability of self-study of advanced topics, connected to the content of the course, and the ability to collaborate. Students should also use the software Mathematica to perform some assigned simulations.
 

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza delle principali metodologie utili per lo studio di alcune classi di processi stocastici a tempo continuo e per sviluppare modelli di interesse per le applicazioni.
Knowledge of most important methods to study models of applied interest.

Oggetto:

Programma

 

Moto Browniano: caratterizzazione Markoviana, esistenza del moto Browniano; distribuzione del massimo e del tempo di primo passaggio; legge dell'arcoseno, legge del logaritmo iterato; moto Browniano riflesso; relazione del moto Browniano con l'equazione del calore e relativa soluzione; moto Browniano multidimensionale

Processi stazionari. Distanza in media quadratica, processi autoregressivi; teoria ergodica e processi stazionari; processi Gaussiani

Processi di diffusione: equazioni differenziali associate a funzionali del processo; equazioni backward e forward; misure stazionarie; classificazione delle barriere del processo; costruzione di comportamenti sulle barriere; processi di diffusione condizionati;  rappresentazione spettrale della densità di transizione; processi di diffusione e equazioni differenziali stocastiche; processi di diffusione con salti; problemi di primo passaggio per processi di diffusione.

 

Brownian Motion: Markov property, existence of the Brownian motion; maximum and first passage time distribution; arcosine law; iterated logarithm law; Reflected Brownian motion; Heat equation and Brownian motion; multidimensional Brownian motion.

Stationary Processes: mean square distance; autoregressive processes; ergodic theory and stationary processes; Gaussian processes

Diffusion Processes: differential equations associated with some functionals of the process; backward and forward equations; stationary measures; boundary classification for regular diffusion processes; conditioned diffusion processes; spectral representation of  the transition density for a diffusion; diffusion processes and stochastic differential equations;  jump-diffusion processes; first passage time problems for diffusion processes

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Le lezioni  della durata complessiva di 48 ore (6 CFU) si svolgono in aula.

Lessons (48 hours, 6 CFU) are given in lecture rooms.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

La soluzione degli esercizi distribuiti durante il corso è parte integrante dell'esame che è orale. Gli esercizi possono venir risolti con lavoro di gruppo. Chi non consegnasse gli esercizi assegnati dovrà risolvere degli esercizi prima di sostenere la prova orale.

La valutazione degli esercizi è valida solo per la sessione estiva. Da settembre gli studenti dovranno risolvere degli esercizi immediatamente prima dell'esame orale.

During the course homeworks are assigned. Solution of these exercises is part of the final exam. Teamwork is allowed for this part of the work. Exam is oral. Students that do not make homeworks will solve exercises immediately before the oral exam.

The evaluation of homeworks is valid only for the Summer exam session. From September session students are required to solve exercises immediately before the oral exam.

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Testi consigliati e bibliografia

Karlin, Taylor A first Course in Stochastic Processes Academic Press 

Karlin, Taylor A second Course in Stochastic Processes Academic Press 

Peter Mörters, Yuval Peres Brownian Motion Cambridge University Press

Kannan, "An introduction to stochastic processes", North Holland.

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Orario lezioniV

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Ultimo aggiornamento: 04/06/2019 10:39

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