- Oggetto:
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Geometria Differenziale (DM 270) - a.a. 2013/14
- Oggetto:
Differential Geometry
- Oggetto:
Anno accademico 2013/2014
- Codice dell'attività didattica
- MFN0500
- Docente
- Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Specialistica in Matematica (D.M. 509)
- Anno
- 1° anno
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
- Nozioni di base sulle varietà differenziabili.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso di propone di fornire agli studenti le nozioni base sui gruppi di Lie e sulla geometria Riemanniana, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: lo studio delle varietà simplettiche e complesse, la teoria delle rappresentazioni, la fisica matematica e l’analisi su varietà differenziabili.
INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e comprensioneIl corso introduce gli studenti ad alcuni risultati fondamentali della geometria differenziale la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari (obiettivo 1) da un punto di vista più generale e necessariamente astratto (obiettivo 3), offrendo anche così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico (obiettivo 4). La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica (obiettivo 5) che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata (obiettivo 9). Oltre a distribuire delle note manoscritte per seguire il corso, vengono proposti un certo numero di volumi anche allo scopo di spingere gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti trattati (obiettivo 2).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel corso (obiettivi 1,2,3,4,5,6).
Autonomia di giudizio (making judgements) L'organizzazione del corso, mirata soprattutto ad ottenere una motivata vasta generalizzazione di risultati di natura elementare in un ambito più astratto richiede agli studenti di affinare le capacità logico-deduttivo coniugandole con un sforzo nel riconoscere in una situazione "nota" le proprietà essenziali su cui fondare una proficua generalizzazione (obiettivi 1,2,3). La letteratura di supporto, anche in lingue diverse, e la risoluzione personale o in gruppo di problemi favoriscono l'approfondimento individuale e il lavoro autonomo (obiettivi 4,6,7). Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono in inglese ed in francese, abituando gli studenti all’uso di lingue diverse dall'italiano (obiettivo 1). L’esame, che è principalmente una discussione sui problemi proposti, costringe lo studente ad esprimersi in modo matematicamente corretto (obiettivo 2).
Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica (obiettivi 1,2).
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Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà differenziabili e Riemanniane e dei gruppi di Lie; saper risolvere esercizi su esempi significativi. Fisica Matematica, Meccanica Analitica, Metodi Geometrici per la Fisica Matematica. Analisi su varietà. Corsi di base del Dottorato.
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Programma
Gruppi di Lie e loro algebre di Lie. Azioni di gruppi di Lie e spazi omogenei.
Metriche riemanniane. Esempi di varietà riemanniane. Immersioni e sommersioni riemanniane. Struttura di spazio metrico su una varietà riemanniana. Isometrie. Connessione lineare. Derivata covariante. Parallelismo. La connessione di Levi-Civita. Curve geodetiche. Curvatura riemanniana e sue proprietà.Lie groups and Lie algebras. Actions of Lie groups and homogeneous spaces.
Riemannian metrics. Examples of Riemannian manifolds. Riemannian immersions and submersions. Structure of metric space associated to a Riemannian manifold. Isometries. Linear Connection. Covariant Derivative. Parallelism. The Levi-Civita connection. Geodesics. Riemannian curvature and its properties.Testi consigliati e bibliografia
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1. F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.
2. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011
3. W. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002
4. T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.
5. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
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Note
GEOMETRIA DIFFERENZIALE, MFN0500 (DM 270), 6 CFU: 6 CFU, MAT/03, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione teorica avanzata.
Modalità di verifica/esame: L’esame consiste in una prova orale sugli argomenti trattati nel corso e nella risoluzione di alcuni esercizi proposti prima dell’esame. Il diario delle lezioni ed altro materiale è reperibile alla pagina del corso sulla piattaforma Moodle
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