- Oggetto:
- Oggetto:
GC-Geometria Computazionale (DM 270) - a.a. 2013/14
- Oggetto:
GC-COMPUTATIONAL GEOMETRY
- Oggetto:
Anno accademico 2013/2014
- Codice dell'attività didattica
- MFN1676
- Docente
- Prof. Mario Valenzano (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
- Nozioni di base di Algebra e Geometria Algebrica.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso intende introdurre alla teoria e alle tecniche di manipolazione formale dei polinomi, in particolare per quel che riguarda il calcolo di caratteristiche geometriche dell’insieme di soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali. Lo studente dovrà essere in grado di affrontare lo studio di problemi teorici o applicativi che possano essere formulati nel linguaggio della geometria (mediante polinomi, reticoli, politopi, grafi) e di impostarne la soluzione utilizzando tecniche collegate alle basi di Groebner, sia in modo teorico sia mediante l’utilizzo di software specifico.
INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e comprensione Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati fondamentali della teoria delle basi di Groebner la cui comprensione richiede una rivisitazione di concetti e nozioni elementari (obiettivo 1) da un punto di vista più generale e necessariamente astratto (obiettivo 3), offrendo in tal modo anche un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico (obiettivo 4). La conoscenza di tali risultati è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori sia della matematica teorica (obiettivo 5) sia dello studio e dell'implementazione di algoritmi esatti (obiettivo 6) che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata (obiettivo 9). Oltre ad un testo principale vengono proposti altri volumi in lingua inglese, anche allo scopo di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione Gli esercizi al computer che vengono proposti periodicamente hanno lo scopo di migliorare la comprensione dei concetti teorici e degli algoritmi sviluppati nel corso e di ampliare la conoscenza di alcune applicazioni pratiche delle basi di Groebner (obiettivi 1,2,3,4,5,6,10).
Autonomia di giudizio (making judgements) L'organizzazione del corso è mirata ad ottenere una generalizzazione di risultati di natura elementare in un ambito più astratto e richiede quindi agli studenti di affinare le capacità logico-deduttive allo scopo di svolgere con chiarezza e precisione ragionamenti complessi, correggendo eventuali errori e colmando lacune (obiettivi 1,2,3). L’assegnazione regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L’ampia letteratura in lingua inglese suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivi 4,7).
Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono tutti in lingua inglese, abituando lo studente all’uso dell’inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame orale costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).
Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile che risulta indispensabile per studi di terzo livello o per inserirsi in ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica (obiettivi 1,2).
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscenza della struttura dell’anello dei polinomi, determinazione di sistemi di generatori per ideali. Soluzione di sistemi di equazioni polinomiali. Nel caso finito, determinazione del numero e, nel caso reale, della posizione delle soluzioni; nel caso infinito, dimensione della varietà associata. Uso di reticoli e di grafi per lo studio di ideali monomiali o torici.
- Oggetto:
Programma
Anello di polinomi in una e più indeterminate a coefficienti in un campo e sue proprietà. Ordinamenti monomiali e basi di Groebner. L'algoritmo di Buchberger.
Operazioni sugli ideali e basi di Groebner corrispondenti.
Sistemi di equazioni polinomiali e varietà algebriche. Teoria dell'eliminazione. Calcolo della dimensione di una varietà.
Teoria delle basi di Groebner per i moduli.
Alcune applicazioni: ideali torici e varietà toriche, reticoli e grafi collegati a ideali monomiali.
Uso di software specifico (Maple, CoCoA, SINGULAR, Macaulay2).
Univariate and multivariate polynomial rings over a field. Term orders and Groebner bases. Buchberger’s algorithm.
Sum, product, intersection, radical of a polynomial ideal and their Groebner bases.
Systems of polynomial equations and affine varieties. Elimination theory. Explicit computation of the dimension of an algebraic variety.
Groebner Basis Theory for modules.
Some applications: toric ideals and toric varieties, lattices and graphs linked to monomial ideals.
Computation using specific software (Maple, CoCoA, SINGULAR, Macaulay2).
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
Cox, Little, O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer 1997
- Oggetto:
Note
GC- GEOMETRIA COMPUTAZIONALE, MFN1676, 6 CFU: 6 CFU, MAT/03, TAF C (affine/integrativa), Ambito attività formative affini o integrative.
Modalità di verifica/esame: Esame orale subordinato alla consegna dello svolgimento degli esercizi assegnati in itinere durante il corso per le esercitazioni al computer.
Il diario delle lezioni ed altro materiale è reperibile alla pagina del corso sulla piattaforma Moodle.
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