- Oggetto:
- Oggetto:
Teoria degli Anelli Commutativi
- Oggetto:
Commutative Rings
- Oggetto:
Anno accademico 2019/2020
- Codice dell'attività didattica
- MFN1664
- Docente
- Prof. Mario Valenzano (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/02 - algebra
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
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I contenuti dell'insegnamento di Algebra 1, in particolare: linguaggio degli insiemi, teoria degli anelli e teoria dei gruppi.The contents of the course Algebra 1, in particular: sets, rings and groups.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento intende introdurre lo studente alla teoria dei moduli e degli anelli commutativi in una forma del tutto generale, ma con particolare attenzione ai casi di maggior interesse geometrico ed applicativo relativi alle k-algebre ottenute per quoziente o localizzazione da anelli di polinomi a coefficienti su un campo. Attraverso l'assegnazione di esercizi teorici si intende non solo sviluppare la padronanza dei concetti acquisiti nell'insegnamento, ma anche migliorare la capacità di soluzione di problemi e di elaborazione autonoma di dimostrazioni e congetture, oltre che stimolare al confronto e alla collaborazione. L'ampia letteratura suggerita (quasi tutta in lingua inglese) favorirà l'iniziativa individuale di approfondimento, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche.The course is intended to introduce the student to the theory of modules and commutative rings in a general setting but with a particular focus on the most interesting cases and geometric applications with respect to k-algebras obtained as quotients or localizations from polynomial rings with coefficients on a filed k. By means of the periodical assignment of exercises we are meant not only to develop the mastery of concepts acquired in teaching, but also improve the ability to solve problems and to conceive independent demonstrations and conjectures, as well as to stimulate discussion and collaboration. The extensive literature suggested (almost entirely in English) will encourage the individual initiative for further study, the first step to achieve autonomy in dealing with new issues.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscere e comprendere le implicazioni dei concetti di: prodotto tensoriale, noetherianità, decomposizione primaria, spettro di un anello. Lavorare con ideali in anelli concreti, quali anelli di polinomi e loro quozienti e localizzazioni.To know and understand the fallout of the following concepts: tensor product, noetherianity, primary decomposition, spectrum of a ring. To work with ideals in concrete rings such as polynomial rings and their quotients and localizations.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa.Per l'emergenza Coronavirus le lezioni sono svolte in modalità alternativa (consultare la pagina Moodle del corso).
The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching. During the lectures some exercises will be proposed to the students as homework.Due to the Coronavirus emergency, the lectures will be operated remotely (see the Moodle page of the course).
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Modalità di verifica dell'apprendimento
Gli studenti dovranno consegnare degli esecizi assegnati in precedenza durante il corso e la prova finale consisterà in un colloquio orale (con votazione espressa in trentesimi). La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.In periodo di emergenza sanitaria Covid-19 l'esame si svolgerà tramite collegamento telematico via WebEx e consisterà in una prova orale, come descritta sopra. I dettagli tecnici sono forniti nella pagina Moodle.
The students must deliver some exiercises previously assigned and the final exam will consist of an oral discussion (and marked by a 30-point scale). The Oral exam consists in questions about theory and proofs presented in the course.During the Covid-19 health emergency period, the exam will be via WebEx. The technical details are provided on the Moodle page.
- Oggetto:
Attività di supporto
Vengono fornite dispense preparate dal docente con contenuti integrativi.Some notes containing also extra contents will be provided by the lecturer.- Oggetto:
Programma
Richiami su anelli commutativi. Elementi invertibili, zero-divisori, nilpotenti.
Ideali e anelli quoziente. Operazioni sugli ideali. Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi, massimali e minimali. Nilradicale e radicale di Jacobson.Anelli locali e localizzazione. Anelli e moduli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione primaria degli ideali nel caso noetheriano.
Teoria dei moduli su un anello. Prodotto tensoriale di moduli. Successioni esatte di moduli e proprietà di esattezza di Hom e del prodotto tensoriale.
Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz di Hilbert. Anelli normali. Going up e Going down.
Lo spettro di un anello.
Special elements in commutative rings: units, zero-divisors, nilpotents.Ideals and quotients of a ring. Sum, product, intersection, radical of ideals. Extended and contracted ideals. Prime, maximal and minimal ideals, nilradical and Jacobson radical.
Local rings and localization. Noetherian rings and modules. Hilbert Basissatz. Primary decomposition in Noetherian rings.
Module theory over a ring. Tensor product of modules. Exact sequences of modules and exactness of Hom and tensor product.
Integral elements over a ring. Noether normalizazion Lemma and Hilbert's Nullstellensatz. Normal rings. Going-up and Going-down.
The spectrum of a ring.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- - M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wessley (1969).
- F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules. Second edition.
Graduate Texts in Mathematics, 13. Springer-Verlag, New York, 1992.- A. Orsatti, Introduzione alla teoria dei moduli, Aracne editrice, Roma, 2002.
- M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wessley (1969).
- F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules. Second edition.
Graduate Texts in Mathematics, 13. Springer-Verlag, New York, 1992.
- A. Orsatti, Introduzione alla teoria dei moduli, Aracne editrice, Roma, 2002. - Oggetto:
Orario lezioni
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