Laurea magistrale in Matematica

Teoria degli Anelli Commutativi (DM 270) - a.a. 2013/14

Commutative Rings

Anno accademico 2013/2014

Sommario insegnamento

• Obiettivi formativi
• Risultati dell'apprendimento attesi
• Programma
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Strumenti didattici

Obiettivi formativi

Il corso intende introdurre alla teoria dei moduli e degli anelli commutativi in una forma del tutto generale, ma con particolare attenzione ai casi di maggior interesse geometrico ed applicativo relativi alle k-algebre ottenute per quoziente o localizzazione da anelli di polinomi a coefficienti su un campo.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). L'utilizzo di vari libri accanto a un testo principale si propone di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso costituisce un primo passo nella teoria dei moduli che costituisce un primo tema specialistico di interesse sia per lo studio dell'algebra computazionale (obiettivo 6) e le sue applicazioni (obiettivo 5) che per l'avviamento alla ricerca nei vari settori dell'algebra astratta e della geometria (obiettivo 9).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione L'assegnazione di esercizi teorici da portare alla prova finale permette di migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire il lavoro di gruppo (obiettivo 2). L'inquadramento storico dello sviluppo dell'algebra commutativa permette una più approfondita comprensione della genesi delle idee che ne stanno alla base (obiettivo 8).

Autonomia di giudizio (making judgements) Il notevole livello di astrazione del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). L’assegnazione regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale. L’ampia letteratura suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7).

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono quasi tutti in lingua Inglese, abituando lo studente all’uso dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame orale costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1 e 2)

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscere e comprendere le implicazioni dei concetti di: prodotto tensoriale, noetherianità, decomposizione primaria, spettro di un anello. Lavorare con ideali in anelli concreti, quali anelli di polinomi e loro quozienti e localizzazioni.

Programma

Richiami su anelli commutativi. Elementi invertibili, zero-divisori, nilpotenti.
Ideali e anelli quoziente. Operazioni sugli ideali. Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi, massimali e minimali. Nilradicale e radicale di Jacobson.

Anelli locali e localizzazione. Anelli e moduli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione primaria degli ideali in generale e nel caso noetheriano.

Teoria dei moduli su un anello. Prodotto tensoriale di moduli. Successioni esatte di moduli e proprietà di esattezza di Hom e del prodotto tensoriale.
Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz di Hilbert. Anelli normali. Going up e Going down.

Anelli artiniani e graduati. Elementi di teoria della dimensione.

- M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wessley (1969).

- F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules. Second edition.
Graduate Texts in Mathematics, 13. Springer-Verlag, New York, 1992.

- A. Orsatti, Introduzione alla teoria dei moduli, Aracne editrice, Roma, 2002.

Note

TEORIA DEGLI ANELLI COMMUTATIVI, MFN1664 , 6 CFU: 6 CFU, MAT/02, TAF C (affine)

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