Laurea magistrale in Matematica

Conoscenze di base di analisi e geometria

Nel corso si introducono gli strumenti geometrici e analitici per trattare le teorie covarianti e vengono forniti esempi di formelazioni alternative delle teorie della gravitazione e le teorie di gauge.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding)
Il corso, presentando argomenti avanzati e collegati a temi di ricerca, permette di sviluppare nuovi livelli di astrazione, combinando lo studio di diverse teorie formali e delle loro relazioni (obiettivo 3). Verranno acquisite conoscenze matematiche specialistiche, utili per l'avviamento alla ricerca (obiettivi 5,9). L'indicazione di diversi libri di riferimento, che utilizzano approcci differenti alle tematiche oggetto del corso, è volta al miglioramento delle capacità dello studente riguardo la comprensione della letteratura matematica (obiettivo 2).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)
Le tematiche affrontate e le attività seminariali previste durante il corso hanno, fra i loro obiettivi, il miglioramento delle capacità di riconoscimento e comprensione di nuove problematiche (di carattere teorico), e delle abilità di ragionamento e dimostrazione matematica rigorosa (obiettivi 1,2,3,5). Sempre tramite tali attività, si intende favorire l'acquisizione di strumenti teorici avanzati, che permettano di iniziare a studiare alcuni semplici aspetti di temi di ricerca specifici (obiettivo 4).

Autonomia di giudizio (making judgements)
Tramite la preparazione e lo svolgimento di seminari, che potranno comportare anche la stesura di brevi note su argomenti correlati alle tematiche affrontate nel corso, lo studente accrescerà la sua capacità di riconoscimento del ruolo delle ipotesi e delle potenzialità delle conclusioni nelle dimostrazioni (obiettivi 1,2). Le medesime attività implicheranno l'approfondimento individuale dei temi trattati nel corso, e favoriranno l'aumento dell'autonomia dello studente nell’affrontare nuove problematiche ad essi collegate (obiettivo 7).

Abilità comunicative (communication skills)
Lo studio dei testi suggeriti per il corso, tutti in lingua Inglese, aiuterà lo studente ad abituarsi all'utilizzo dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1) ed a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento (learning skills)
Il lavoro richiesto durante la frequenza alle lezioni di questo corso è un'attività utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello (obiettivi 1,2)

Lo studente deve appropriarsi delle tecniche di geometria differenziale che vengono usate in fisica per descrivere le interazioni fondamentali.

Il corso è tenuto in lezioni frontali, comprendenti anche la soluzione di esempi ed esercizi.

Durante il corso è prevista la soluzione di esercizi sugli argomenti standard da fare a casa e consegnare prima dell'esame .
L'esame consta di un seminario orale su un argomento concordato attinente al corso.

Anni pari
Richiami su varietà e gruppi di Lie.
Fibrati, fibrati principali, morfismi principali (trasformazioni di gauge)
Connessioni principali, curvatura, identità di Bianchi.
Trasporto parallelo e olonomia.
Teorie di campo covarianti e gauge covarianti.
Formulazione hamiltoniana covariante in teorie dei campi.
Esempi: Yang-Mills, strutture di spin, formalismo delle Vielbein.

Anni dispari
Teorie relativistiche
Geodetiche e free fall
Leggi di conservazione e superpotenziali
Esempio: relatività generale di Hilbert-Einstein.
Connessioni su varietà e formulazione di Palatini
Teorie estese della gravitazione
Teorema di universalità per teorie f(R)
Formulazione autoduale
Stati pre-quantum

Il corso verrà tenuto in italiano a meno che non giunga richiesta da studenti stranieri nel qual caso verrà tenuto in inglese.
Il 2014/2015 è un anno pari.

L. Fatibene, M. Francaviglia,
Natural and gauge natural formalism for classical field theories. A geometric perspective including spinors and gauge theories.
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003. xxii+365 pp. ISBN: 1-4020-1703-0

John C. Baez, Javier P. Muniain,
Gauge Fields, Knots, and Gravity (Series on Knots and Everything)

Materiale e articoli scientifici forniti dal docente.