Laurea magistrale in Matematica

Contenuti dei corsi di base: Algebra 1, Analisi Matematica 1, Analisi Matematica 2, Analisi Matematica 3, Analisi Numerica.

Il corso si propone di illustrare importanti argomenti avanzati di Analisi numerica, completando le nozioni introdotte nel corso di Analisi Numerica sulle equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali e trattando ampiamente le equazioni differenziali ordinarie con condizioni agli estremi. La presentazione teorica dei metodi numerici è trattata in modo approfondito e, contemporaneamente, viene dato spazio all’analisi degli algoritmi e alla loro implementazione in Matlab su calcolatore. Gli studenti devono acquisire le conoscenze teoriche e l’esperienza di calcolo per risolvere numericamente problemi modellati da equazioni differenziali ordinarie. Trovare soluzioni approssimate di tali problemi e fornire stime delle approssimazioni ottenute è di fondamentale importanza nelle applicazioni della matematica in vari settori scientifici.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso rivisita alcuni argomenti di base dell'Analisi Numerica e completa la preparazione,e perciò permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). L'utilizzo di numerosi libri accanto a due testi principali si propone di migliorare le capacità di lettura e comprensione dello studente (obiettivo 2). Il corso costituisce un primo passo nello studio avanzato dell'Analisi Numerica e tratta argomenti di grande interesse per le applicazioni (obiettivo 5) che sono uno strumento indispensabile per la ricerca in ambito numerico (obiettivo 9). Le esercitazioni pratiche previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di risoluzione applicativa e numerica di problemi e a fornire avanzate competenze computazionali (obiettivo 6).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi anche applicativi, di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving (obiettivi 1,2,3,5). Talvolta potranno suggerire allo studente verifiche computazionali di risultati teorici, anche al fine di illustrare alcuni teoremi (obiettivo 9). Inoltre le esercitazioni in aula informatizzata permettono allo studente di essere in grado di utilizzare competenze computazionali e informatiche per studiare problematiche matematiche (obiettivo 10)

Autonomia di giudizio (making judgements) Essendo il corso di natura istituzionale, esso richiede allo studente il miglioramento delle sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle tesi. Lo studente dovrà abituarsi ad ottenere risultati teorici partendo dalle ipotesi (obiettivi 1,2). Le esercitazioni in aula informatizzata favoriscono l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L’ampia letteratura suggerita favorisce l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7)

Abilità comunicative I vari testi suggeriti per il corso, alcuni in lingua Inglese, abituano lo studente a vari strumenti e all’uso dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame orale costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2)

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1 e 2)

• Conoscenze complementari sulla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie a valori iniziali 

• Conoscenze di base e avanzate sulla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie a valori agli estremi

Al termine del corso gli studenti conoscono i fondamenti dell'Analisi Numerica, e in particolare i concetti di stabilità e convergenza. Hanno acquisito abilità nell’impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici che applicativi.

Sono in grado di dimostrare autonomamente risultati che discendano dalla teoria studiata e riescono ad orientarsi su testi matematici del settore diversi dal libro di testo.

Prova scritta e prova orale. La prova scritta è costituita da esercizi di tipo teorico e pratico. La prova scritta è valutata in 30simi. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 18/30. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Non ci sono domande che richiedono lo svolgimento di esercizi.

 

• Richiami e complementi sui metodi iterativi per sistemi di equazioni lineari: metodi di Richardson, metodo del gradiente, metodo del gradiente coniugato
• Approssimazione di autovalori: metodi delle potenze e delle potenze inverse
• Metodi per sistemi di equazioni non lineari: metodo del punto fisso, metodo di Newton
• Richiami e complementi sui metodi ad un passo per la risoluzione numerica di equazioni differenziali ai valori iniziali: metodi di Eulero, Taylor, Runge-Kutta
• Metodi multipasso espliciti e impliciti: metodi Adams, metodo predittore-correttore
• Metodi a passo variabile
• Metodi di estrapolazione
• Consistenza, stabilità e convergenza dei metodi ad un passo e multipasso
• Assoluta stabilità
• Equazioni stiff
• Problemi differenziali con condizioni agli estremi: metodo shooting, metodo alle differenze finite, metodi variazionali

 

- Burden, R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA, 2004.

- Quarteroni, A., R. Sacco, e F. Saleri, Matematica numerica, Springer, Milano, 1998.

- V. Comincioli, Analisi Numerica. Metodi, modelli e applicazioni, McGraw-Hill, 1990.

- Gautschi, W., Numerical analysis. An introduction, Birkhäuser, Boston, 1997.

http://archives.math.utk.edu/topics/ordinaryDiffEq.html