- Oggetto:
- Oggetto:
Metodi di Approssimazione
- Oggetto:
Approximation Methods
- Oggetto:
Anno accademico 2021/2022
- Codice dell'attività didattica
- MAT0208
- Docenti
- Prof. Incoronata Notarangelo (Titolare del corso)
Prof. Sara Remogna (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/08 - analisi numerica
- Modalità di erogazione
- Mista
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Solide basi di Analisi Matematica e di Analisi Numerica.Mathematical Analysis and Numerical Analysis.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento fornisce conoscenze avanzate di Matematica Numerica nell'ambito sia della teoria dell'approssimazione classica sia di quella moderna, con particolare riferimento all'approssimazione polinomiale e spline e alle loro applicazioni. Le lezioni sono organizzate secondo il punto di vista di un analista numerico che ama la teoria, ma dà anche rilievo agli aspetti computazionali.
Si verrà invitati a proporre dimostrazioni autonome e rigorose di proposizioni collegate al materiale teorico introdotto nell'insegnamento, con l'obiettivo di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving. Possono essere proposte verifiche computazionali di risultati teorici. La letteratura suggerita favorisce l'iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche.
Consistently with the educational goals of the Degree program expected by the SUA-CdS file, the aim of this course is to provide advanced competences in Numerical Mathematics in the area of classical and modern approximation theory, with particular reference to spline approximation and its applications. Lessons are organized according to a numerical analyst point of view, by considering the theory, but also emphasizing the computational aspects.
The student is invited to propose independent and rigorous proofs related to theoretical topics of the course, in order to improve his command on concepts and his ability in problem solving. Some computational tests of theoretical results can be proposed to him. The textbooks, suggested during the course, encourage the personal deepening to learn to be independent in solving new problems.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento saranno state acquisite conoscenze e competenze nell'ambito della teoria dell'approssimazione classica e moderna, con particolare riferimento all'approssimazione polinomiale e spline e alle loro applicazioni.After completing the course, the student will have knowledge and expertise on the classical and modern approximation theory, particularly referring to polynomial and spline approximation and their applications.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento è svolto nel secondo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale.Nell'a.a. 2021/22 l'insegnamento si svolgerà in presenza e in streaming. Saranno disponibili delle videoregistrazioni sulla pagina Moodle dell'insegnamento.
L'elenco dettagliato degli argomenti svolti nelle lezioni, con relativi riferimenti bibliografici, sono riportati nella pagina Moodle dell'insegnamento.
The course is carried out in the II semester and it consists of 48 h (6 CFU) of theoretical lectures.In the academic year 2021/22 the teaching will be in presence and guaranteed on the web.
The detailed list of the topics shown during the lectures, with the corresponding bibliographical references, are reported in the Moodle page of the course.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova è orale, consiste in domande relative agli argomenti presentati nell'insegnamento ed è valutata in trentesimi. E' garantita la possibilità di sostenere l'esame in inglese.
Si rimanda alla pagina Moodle dell'insegnamento per ulteriori informazioni.
The oral examination consists in questions related to the topics presented during the course and it is evaluated as X/30. Foreign students can take the exam in English, at their choice.
Further information in the Moodle page of the course.
- Oggetto:
Programma
- Introduzione: approssimazione di funzioni in spazi lineari normati, esistenza ed unicità di approssimazioni ottime in un sottospazio di uno spazio lineare normato.
- Approssimazione polinomiale. Approssimazione di funzioni periodiche. Polinomi trigonometrici, spazi di funzioni e moduli di continuità. Stime della migliore approssimazione trigonometrica. Convergenza di somme di Fourier e interpolazione trigonometrica.
- Approssimazione polinomiale pesata. Spazi di funzioni con metrica pesata e φ-moduli di continuità. Stime dell'errore di migliore approssimazione polinomiale pesata. Operatori di approssimazione: polinomi di Bernstein, somme di Fourier in sistemi ortonormali e interpolazione di Lagrange su zeri di Jacobi.
- Applicazioni dell'approssimazione polinomiale: formule di quadratura e metodi numerici per equazioni integrali.
- Spazi di funzioni polinomiali a tratti di ordine assegnato e con prefissati vincoli di regolarità in punti di raccordo. Base di potenze troncate. Base di B-spline e rappresentazione di funzioni polinomiali a tratti mediante B-spline. Valutazione stabile di B-spline.
- Approssimazione spline locale e distanza di una funzione continua dallo spazio spline. Quasi-Interpolazione spline. Interpolazione spline. Approssimazione spline nel senso dei minimi quadrati discreti.
- Alcune applicazioni della teoria delle spline.
- Introduction: function approximation in normed linear spaces. Existence and uniqueness of optimal approximations in a subspace of a normed linear space.
- Polynomial approximation. Approximation of periodic functions. Trigonometric polynomials, function spaces and moduli of smoothness. Estimates for the best weighted polynomial approximation. Convergence of Fourier sums and trigonometric interpolation.
- Weighted polynomial approximation. Weighted function spaces and φ-moduli of smoothness. Estimates for the best weighted polynomial approximation. Approximation operators: Bernstein polynomials, Fourier sums in orthonormal systems and Lagrange interpolation at Jacobi zeros.
- Applications of polynomial approximation: quadrature rules and numerical methods for Fredholm integral equations.
- Piecewise polynomial approximation. Linear spline interpolation. Least-squares approximation by linear splines. Cubic spline interpolation.
- Spaces of piecewise polynomial functions with a given order and smoothness constraints at break points. Truncated power function basis. The B-spline basis and the representation of piecewise polynomial functions by B-splines. Stable evaluation of B-splines.
- Local spline approximation and distance of a continuous function from the spline space. Spline quasi-interpolation. Spline interpolation. Discrete least-squares spline approximation.
- Some applications of spline theory.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
Per approfondimenti ed integrazioni è inoltre consigliato l'utilizzo dei seguenti testi:
- C. de BOOR, A Practical Guide to Splines, Revised Edition, Springer (2001)
- P. JUNGHANNS - G. MASTROIANNI - I. NOTARANGELO, Weighted Polynomial Approximation and Numerical Methods for Integral Equations, Birkhäuser Basel (2021)
- G. MASTROIANNI - G.V. MILOVANOVIC, Interpolation processes. Basic theory and applications, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag (2008)
- L. PIEGL - W. TILLER, The NURBS, Springer (1997)
- G. M. PHILLIPS, Interpolation and Approximation by Polynomials, CMS Books in Mathematics, Springer (2003)
- M. J. D. POWELL, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press (1981)
Ulteriore materiale potrà essere fornito nel corso delle lezioni.
See also:
- C. de BOOR, A Practical Guide to Splines, Revised Edition, Springer (2001)
- P. JUNGHANNS - G. MASTROIANNI - I. NOTARANGELO, Weighted Polynomial Approximation and Numerical Methods for Integral Equations, Birkhäuser Basel (2021)
- G. MASTROIANNI - G.V. MILOVANOVIC, Interpolation processes. Basic theory and applications, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag (2008)
- L. PIEGL - W. TILLER, The NURBS, Springer (1997)
- G. M. PHILLIPS, Interpolation and Approximation by Polynomials, CMS Books in Mathematics, Springer (2003)
- M. J. D. POWELL, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press (1981)
Further material will be provided during the course.
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Orario lezioni
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