- Oggetto:
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Geometria Differenziale
- Oggetto:
Differential Geometry
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Anno accademico 2015/2016
- Codice dell'attività didattica
- MFN0500
- Docente
- Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Nozioni di base su varietà differenziali e forme differenziali.Basic notion on smooth manifolds and differential forms.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulla geometria Riemanniana, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi ed alla relazione fra teoria locale e teoria globale. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: lo studio delle varietà simplettiche e complesse, la fisica matematica e l’analisi su varietà differenziabili.The course aims to provide to the students the basic concepts of Riemannian geometry, paying particular attention to the examples and the relation between the local and global theory. These concepts are preparatory to different topics, such as: the study of symplectic and complex manifolds, mathematical physics and analysis on differential manifolds.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà Riemanniane; saper risolvere esercizi su esempi significativi.Learn the fundamental properties of Riemannian manifolds; able to solve exercises on significant examples.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa.The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching. During the lectures some exercises will be proposed to the students as homework.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova orale consiste nello svolgimento di esercizi, in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.The Oral exam consists in solving exercises, in questions about theory and proofs presented in the course.- Oggetto:
Programma
Metrica riemanniana e distanza Riemanniana. Esempi di varietà riemanniane. Immersioni e submersioni riemanniane. Struttura di spazio metrico su una varietà riemanniana. Isometrie. Connessione lineare. Derivata covariante. Parallelismo. La connessione di Levi-Civita. Trasporto parallelo. Curve geodetiche. Curvatura riemanniana e sue proprietà. Curvatura sezionale, curvatura di Ricci, curvatura scalare, Laplaciano Riemanniano, Campi di Killing, forme armoniche, Teorema di Hodge, tecniche di Bochner. Teorema di Hopf-Rinow e Teorema di Hadamard. Varietà con curvatura sezionale costante.
Riemannian metric and Riemannian distance. Examples of Riemannian manifolds. Group of isometries. Riemannian immersions and submersions. Structure of metric space associated to a Riemannian manifold. Isometries. Linear Connection. Covariant Derivative. Parallelism. The Levi-Civita connection. Parallel trasnsport. Geodesics. Riemannian curvature and its properties. Sectional curvature, Ricci curvature, scalar curvature, Riemannian Laplacian, Killing fields, harmonic forms, Hodge theorem, Bochner techniques. Hopf-Rinow theorem and Hadamard theorem. Manifolds with constant sectional curvature.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- 1. M. P. do Carmo, Riemannian Geometry, Francis Flaherty.
2. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011
3. W. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002
4. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
1. M. P. do Carmo, Riemannian Geometry, Francis Flaherty.2. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011
3. W. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002
4. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
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Orario lezioni
Giorni Ore Aula - Oggetto:
Note
La pagina web dell'insegnamento sarà su moodle e conterrà informazioni più dettagliate, in particolare il diario delle lezioni ed altro materiale relativo alle lezioni. Si invitano gli studenti ad iscriversi al corso moodle per ricevere eventuali avvisi.In caso di sovrapposizioni con altri insegnamenti, il docente è disponibile a cercare un orario soddisfacente per tutti; se ne discuterà alla prima lezione.
The web page of the course will be on moodle and will contain more detailed information, in particular a daily record of the lectures and other material related to the lectures. All students are invited to register to the course on moodle in order to receive any news concerning the course.In case of overlapping courses, the professor is willing to look for a schedule which is satisfying for everybody; we will talk about this at the first lecture.
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