- Oggetto:
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Geometria Differenziale
- Oggetto:
Differential Geometry
- Oggetto:
Anno accademico 2021/2022
- Codice dell'attività didattica
- MAT0194
- Docente
- Dott. Luciano Mari (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 - Vedi il campo note per i dettagli
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano/Inglese
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Conoscenza di base di varietà differenziabili, campi vettoriali e tensoriali e forme differenziali.Basic knowledge of smooth manifolds, vector and tensor fields, differential forms.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulla geometria Riemanniana, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi ed alla relazione fra teoria locale e teoria globale. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: lo studio delle varietà simplettiche e complesse, la fisica matematica e l'analisi su varietà differenziabili.The course aims to provide to the students the basic concepts of Riemannian geometry, paying particular attention to the examples and the relation between the local and global theory. These concepts are preparatory to different topics, such as: the study of symplectic and complex manifolds, mathematical physics and analysis on differential manifolds.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà Riemanniane; saper risolvere esercizi su esempi significativi.Learn the fundamental properties of Riemannian manifolds and Lie gropus; able to solve exercises on significant examples.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale nella modalità in presenza, Covid permettendo. Agli studenti sarà chiesto di svolgere settimanalmente una lista di esercizi, che è parte dell'esame.
IMPORTANTE: tutte le informazioni didattiche, ed il materiale, verranno date tramite la piattaforma Moodle al link
https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1686
Gli studenti sono pregati di iscriversi lì. La pagina contiene anche il link per le lezioni online.The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of teaching operated in presence, Covid permitting. Students will be asked to do weekly a list of exercises, which is part of the exam.
IMPORTANT: all didactic information, and the material, will be given via the Moodle platform, at the website
https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1686
Students are kindly asked to register there. The webpage alo contains the link for online lessons.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova orale consiste in domande relative alla teoria ed agli esercizi svolti, che concorreranno nella valutazione. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l’esame in inglese, se lo richiedono.In caso di emergenza sanitaria, l'esame si svolgerà online tramite piattafoma WebEx. Consisterà sempre in un colloquio orale, come descritto sopra. I dettagli tecnici verranno forniti nella pagina Moodle dell'insegnamento.
The Oral exam consists in questiona related both to the theory and to the list of exercises, which will both concurr to the final evaluation. Students from abroad will be granted the exam in English language, if wished.In case of health emergency, the exam will take place online via WebEx platform. It will always consist of an oral exam, as described above. Technical details will be provided on the Moodle page of the course.
- Oggetto:
Programma
Metrica riemanniana e distanza Riemanniana. Esempi di varietà Riemanniane. Immersioni e submersioni riemanniane.
Struttura di spazio metrico su una varietà riemanniana. Isometrie.
Connessione lineare e derivata covariante. Hessiano e Laplaciano. Parallelismo. La connessione di Levi-Civita. Trasporto parallelo. Curvatura riemanniana e sue proprietà. Curvatura sezionale, curvatura di Ricci, curvatura scalare.
Derivata prima del funzionale lunghezza e geodetiche. La mappa esponenziale. Completezza metrica e Teorema di Hopf-Rinow.
Immersioni isometriche: la seconda forma fondamentale, endomorfismo di Weingarten e le equazioni di Gauss, Codazzi-Mainardi e Ricci. Curvatura media e sottovarietà minimali.
Varietà con curvatura sezionale constante.
Derivata seconda del funzionale lunghezza e campi di Jacobi. Alcuni teoremi fondamentali (Hadamard, Myers, Synge-Weinstein).Tempo permettendo: il Teorema di confronto dell'Hessiano ed applicazioni (Teorema di Tompkins, Teorema di Cartan, Teorema di Preissman).
Riemannian metric and distance. Examples of Riemannian manifolds. Riemannian immersions and submersions.
Metric structure of a Riemannian manifold. Isometries.
Linear connection and covariant derivative. Hessian and Laplacian. Parallelism. The Levi-Civita connection. Parallel transport. Riemannian curvature tensor and its properties. Sectional, Ricci and scalar curvature.
First derivative of the length functional and geodesics. The exponential map. Metric completeness and the Hopf-Rinow theorem.Isometric immersions: the second fundamental form, Weingarten endomorphism and the Gauss, Codazzi-Mainardi and Ricci equations. Mean curvature and minimal submanifolds.
Manifolds with constant sectional curvature.
Second derivative of the length functional and Jacobi fields. Some fundamental theorems (Hadamard, Myers, Synge-Weinstein).Time permitting: the Hessian comparison theorem and applications (Tompkins theorem, Cartan's theorem, Preissman's Theorem).
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
1. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011
2. F. W. Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
3. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
4. M. M. Alexandrino, R. G. Bettiol, Lie groups and Geometric Aspects of Isometric Actions.
1. M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011
2. F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups.
3. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
4. M. M. Alexandrino, R. G. Bettiol, Lie gropups and Geometric Aspects of Isometric Actions.
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Orario lezioni
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