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Oggetto:
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Geometria Algebrica

Oggetto:

Algebraic Geometry

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Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0193
Docenti
Alberto Albano (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano/Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Gli insegnamenti di algebra e geometria della laurea triennale in matematica, e Istituzioni di Geometria Superiore.
Altri insegnamenti della laurea magistrale che può essere utile avere seguito o seguire in parallelo sono Teoria degli Anelli Commutativi, Geometria Superiore, Topologia Algebrica.
The courses in algebra and geometry of the "laurea triennale", and "Istituzioni di Geometria Superiore".
Other courses of the master which may be useful are "Teoria degli Anelli Commutativi", "Geometria Superiore", and "Topologia Algebrica".
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Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

L'insegnamento vuole dare un'introduzione alla geometria algebrica tramite lo studio delle varietà quasi-proiettive su un campo algebricamente chiuso, partendo dalle nozioni di base viste nell'insegnamento "Istituzioni di Geometria Superiore". A tale scopo verranno studiate le prime proprietà delle varietà algebriche, sia globali (irriducibilità, dimensione, equivalenza birazionale) che locali (spazio tangente e singolarità), e verranno introdotte alcune nozioni più avanzate (forme differenziali, divisori). Per aiutare gli studenti a familiarizzarsi con l'argomento, verranno presentati numerosi esempi ed esercizi, in parte svolti in classe, in parte lasciati da svolgere agli studenti. L'argomento ha legami importanti con l'algebra commutativa e la geometria complessa (nel caso del campo dei numeri complessi), che saranno evidenziati nell'insegnamento.
The goal of the course is to give an introduction to algebraic geometry through the study of quasi-projective varieties over an algebraically closed field, starting from the basic notions seen in the course "Istituzioni di Geometria Superiore". To this aim, we will study the first properties of algebraic varieties, both global (irreducibility, dimension, birational equivalence) and local (tangent space and singularities), and we will introduce some more advanced notions (differential forms, divisors). In order to help the students to get acquainted with the subject, we will present several examples and exercises, in part solved during the lectures, in part left as homework. The subject has important connections with commutative algebra and complex geometry (in the case of the field of complex numbers), which will be highlighted during the course.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente che completerà con successo questo insegnamento:

  • conoscerà gli elementi basilari della geometria algebrica affine e proiettiva, incluse le nozioni di singolarità, dimensione ed equivalenza birazionale;
  • avrà familiarità con esempi espliciti che includano curve piane, superfici quadriche e cubiche, la grassmanniana delle rette in P3, il blow-up dello spazio proiettivo in un punto;
  • sarà in grado di formulare e dimostrare risultati di base sulle varietà algebriche espressi in un linguaggio matematico rigoroso;
  • conoscerà applicazioni della teoria appresa allo studio esplicito di proprietà delle varietà algebriche (per esempio lo studio delle rette su ipersuperfici proiettive);
  • sarà in grado di mettere in relazione la nozione di varietà algebrica complessa con le nozioni di varietà topologica/differenziabile reale/complessa.
The student who successfully complete this course will:
  • know the basic elements of affine and projective algebraic geometry, including the notions of singularities, dimension and birational equivalence;
  • be familiar with explicit examples including plane curves, quadric and cubic surfaces, the grassmannian of lines in P3, the blow-up of the projective space in a point;
  • be able to state and prove basic results on algebraic varieties, expressed in a rigorous mathematical language;
  • know applications of the theory to the explicit study of properties of algebraic varieties (for example the study of lines in projective hypersurfaces);
  • be able to relate the notion of complex algebraic variety with the notions of topological/real differentiable/complex manifold. 
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Programma

Proprietà topologiche. Spazi topologici noetheriani, decomposizione in irriducibili. Dimensione topologica.

Dimensione. Dimensione di Krull di un anello. Estensioni di campi e grado di trascendenza; equivalenza tra le diverse nozioni di dimensione. Dimensione di un chiuso, di un prodotto, delle fibre di un morfismo. Altezza di un ideale primo; relazione tra dimensione e numero di equazioni.

Applicazioni razionali. Anello locale in un punto; localizzazione di un dominio rispetto a un ideale primo. Campo delle funzioni razionali. Applicazioni razionali e birazionali, equivalenza birazionale. Ogni varietà è birazionale a un'ipersuperficie. Varietà razionali.

Proprietà locali: spazio tangente e non-singolarità. Anello locale e spazio tangente in un punto. Punti singolari, dimensione locale. Parametri locali in un punto liscio. Esistenza di un'equazione locale per un'ipersuperficie in un punto liscio. Codimensione del luogo di indeterminazione di un'applicazione razionale da una varietà liscia a una varietà proiettiva/affine. Ordine di una funzione razionale lungo un'ipersuperficie, cenni sui divisori. 

Forme differenziali. Forme differenziali regolari e razionali, esistenza di una base locale nell'intorno di un punto liscio. Lo spazio delle forme regolari è un invariante birazionale per varietà proiettive lisce. Forme differenziali su ipersuperfici proiettive lisce; applicazioni.

Esempi, applicazioni, complementi. Varietà delle ipersuperfici proiettive. Grassmanniane e immersione di Plücker. Blow-up dello spazio affine e dello spazio proiettivo in un punto. Analisi di diagrammi di incidenza: esistenza di rette su superfici di P3. Una superficie cubica liscia di P3 contiene 27 rette. Caso complesso: struttura differenziabile (e complessa) su varietà quasi-proiettive complesse non singolari.

Topological properties. Noetherian topological spaces, decomposition in irreducible components. Topological dimension.

Dimension. Krull dimension of a ring. Field extensions and transcendence degree; equivalence between the different notions of dimension. Dimension of a closed subset, of a product, of the fibers of a morphism. Height of a prime ideal; relation between dimension and the number of equations.

Rational maps. Local ring at a point; localization of a domain with respect to a prime ideal. Field of rational functions. Rational and birational maps, birational equivalence. Every variety is birational to a hypersurface. Rational varieties.

Local properties: tangent space and nonsingularity. Local ring and tangent space at a point. Singular points, local dimension. Local parameters at a smooth point. Existence of a local equation for a hypersurface at a nonsingular point. Codimension of the indeterminacy locus of a rational map from a smooth variety to a projective/affine variety. Order of a rational function along a hypersurface; overview on divisors.

Differential forms. Regular and rational differential forms; existence of a local basis at a smooth point. The space of regular forms is a birational invariant for smooth projective varieties. Differential forms on smooth projective hypersurfaces; applications.

Examples, applications, complements. The variety of projective hypersurfaces. Grassmannians and the Plücker embedding. Blow-up of the affine space and of the projective space at a point. Analysis of incidence diagrams: existence of lines on surfaces in P3. A smooth cubic surface in P3 contains 27 lines. The complex case: differentiable (and complex) structure on a smooth complex quasi-projective variety.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è svolto nel secondo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale articolate in lezioni ed esercitazioni. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa; le esercitazioni saranno dedicate alla discussione con gli studenti di questi esercizi.

Le lezioni verranno tutte svolte in presenza.

The course is taught in the second semester and consists of 48 hours (6 CFU) of classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions. During the lectures exercises will be proposed to the students as homework; the exercise sessions will be devoted to the discussion with the students of these exercises.

Lectures will be held in the classroom.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova orale.

La prova orale consiste in domande relative alla teoria, alle dimostrazioni e agli esempi presentati nell'insegnamento. Il voto è espresso in trentesimi.

Eventuali studenti stranieri possono sostenere l'esame, a loro scelta, in italiano, inglese o francese.

The exam consists in an oral examination.

The oral examination consists in questions dealing with the theory , the proofs, and the examples presented in the course. Maximum grade is 30 cum Laude. Pass grade is 18/30.

Foreign students can choose to take the exam in Italian, English, or French.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Algebraic Geometry
Anno pubblicazione:  
1977
Editore:  
Springer
Autore:  
ISBN  
Obbligatorio:  
Si


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Basic Algebraic Geometry, vol. 1: Varieties in projective space
Anno pubblicazione:  
2013
Editore:  
Springer
Autore:  
ISBN  
Obbligatorio:  
No
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Altre referenze:

Other references: 



Oggetto:

Note

La pagina web dell'insegnamento sarà su moodle e conterrà informazioni più dettagliate, in particolare il diario delle lezioni.

In caso di sovrapposizioni con altri insegnamenti, il docente è disponibile a cercare un orario soddisfacente per tutti; se ne discuterà alla prima lezione.

The web page of the course will be on moodle and will contain more detailed information, in particular a daily record of the lectures.

In case of overlapping courses, the professor is willing to look for a schedule which is satisfying for everybody; we will talk about this at the first lecture. 

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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 27/06/2022 22:56

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