Geometria Algebrica

 

Algebraic Geometry

 

Anno accademico 2018/2019

Codice attività didattica
MFN0498
Docente
Prof. Cinzia Casagrande (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
  • Italiano
  • English
Gli insegnamenti di algebra e geometria della laurea triennale in matematica, e Istituzioni di Geometria Superiore.
Altri insegnamenti della laurea magistrale che può essere utile avere seguito o seguire in parallelo sono Teoria degli Anelli Commutativi, Geometria Superiore, Topologia Algebrica.
 
 

Obiettivi formativi

  • Italiano
  • English
L'insegnamento vuole dare un'introduzione alla geometria algebrica tramite lo studio delle varietà quasi-proiettive su un campo k (essenzialmente nel caso in cui k è algebricamente chiuso). A tale scopo verranno introdotte prima le varietà affini, poi quelle proiettive e quasi-proiettive, e le mappe regolari e razionali. Verranno poi studiate le prime proprietà delle varietà algebriche, sia globali (irriducibilità, dimensione, equivalenza birazionale) che locali (spazio tangente e singolarità). Per aiutare gli studenti a familiarizzarsi con l'argomento, verranno presentati numerosi esempi ed esercizi, in parte svolti in classe, in parte lasciati da svolgere agli studenti. L'argomento ha legami importanti con l'algebra commutativa e la geometria complessa (nel caso in cui k e' il campo dei numeri complessi), che saranno evidenziati nell'insegnamento.
 

Risultati dell'apprendimento attesi

  • italiano
  • English
Lo studente che completerà con successo questo insegnamento:

  • conoscerà gli elementi basilari della geometria algebrica affine e proiettiva, incluse le nozioni di singolarità, dimensione ed equivalenza birazionale;
  • avrà familiarità con esempi espliciti che includano curve piane, superfici quadriche e cubiche, la grassmanniana delle rette in P3, la varietà di Veronese e la varietà di Segre;
  • avrà approfondito la conoscenza di anelli commutativi finitamente  generati e del loro campo dei quozienti;
  • sarà in grado di formulare e dimostrare risultati di base sulle varietà algebriche espressi in un linguaggio matematico rigoroso;
  • sarà in grado di mettere in relazione la nozione di varietà algebrica complessa con le nozioni di varietà topologica/differenziabile reale/complessa.

 

Programma

  • Italiano
  • English
Il corso si propone di coprire il capitolo I - Varieties del libro Algebraic Geometry di Hartshorne.

Varietà affini.  Chiusi algebrici affini, topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Irriducibilità e scomposizione in irriducibili. Funzioni regolari, morfismi e isomorfismi.

Varietà proiettive e quasi-proiettive. Topologia di Zariski sullo spazio proiettivo, Nullstellensatz proiettivo, decomposizione in irriducibili. Funzioni e applicazioni regolari e razionali; equivalenza birazionale. Prodotti di varietà quasi-proiettive.

Dimensione. Estensioni di campi, grado di trascendenza, dimensione di una varietà quasi-proiettiva; equivalenza tra diverse definizioni. Dimensione di un chiuso, di un prodotto, delle fibre di un morfismo.

Proprietà locali: spazio tangente e singolarità. Anello locale e spazio tangente in un punto. Punti singolari, dimensione locale.

Esempi, applicazioni, complementi. Grado di una varietà proiettiva, teorema di Bezout. Curve razionali normali. Immersioni di Veronese e di Segre. Varietà delle coniche proiettive piane. Proiezioni. Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali. Grassmanniane e immersione di Plücker. Esempi di geometria enumerativa: rette su una superficie di P3. Caso complesso: struttura complessa su varietà quasi-proiettive complesse non singolari. 

 

Modalità di insegnamento

  • Italiano
  • English
L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa; alcune lezioni saranno dedicate alla discussione con gli studenti di questi esercizi.
 

Modalità di verifica dell'apprendimento

  • Italiano
  • English
L'esame consiste in una prova orale.

La prova orale consiste in domande relative alla teoria, alle dimostrazioni e agli esempi presentati nell'insegnamento.

Eventuali studenti stranieri possono sostenere l'esame, a loro scelta, in italiano, inglese o francese.

 

Testi consigliati e bibliografia

  • Italiano
  • English
Referenza principale: Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977, capitolo I

Altre referenze:

Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Second Edition, volume 1 - Varieties in Projective Space, Springer, 1988.

Hulek, Elementary Algebraic Geometry,  American Mathematical Society, 2003.

Reid, Undergraduate Algebraic Geometry,  London Mathematical Society, 1989.

Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.

 

Note

  • Italiano
  • English
La pagina web dell'insegnamento e' su moodle e contiene informazioni più dettagliate, in particolare il diario delle lezioni. Si invitano gli studenti ad iscriversi al corso moodle (all'inizio del corso) per ricevere eventuali avvisi.

In caso di sovrapposizioni con altri insegnamenti, il docente è disponibile a cercare un orario soddisfacente per tutti; se ne discuterà alla prima lezione.

 
Registrazione
  • Aperta
     
    Ultimo aggiornamento: 29/06/2018 11:34
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