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Metodi di Approssimazione

Oggetto:

Approximation Methods

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Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
MAT0208
Docenti
Paola Lamberti (Titolare)
Sara Remogna (Titolare)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/08 - analisi numerica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Solide basi di Analisi Matematica e di Analisi Numerica.

Mathematical Analysis and Numerical Analysis.
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Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, dopo una breve introduzione alla teoria dell'approssimazione classica, l'insegnamento fornisce conoscenze avanzate di Matematica Numerica nell'ambito della teoria dell'approssimazione moderna, con riferimento all'approssimazione polinomiale e spline e alle loro applicazioni, in particolare alla modellazione CAGD. Le lezioni sono organizzate secondo il punto di vista di un analista numerico che ama la teoria, ma dà anche rilievo agli aspetti computazionali.

Possono essere proposte verifiche computazionali di risultati teorici. La letteratura suggerita favorisce l'iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche.

Consistently with the educational goals of the Degree program expected by the SUA-CdS file, after a short introduction to classical approximation theory, the aim of this course is to provide advanced competences in Numerical Mathematics in the area of modern approximation theory, with reference to spline approximation and its applications, particularly related to CAGD modelling. Lessons are organized according to a numerical analyst point of view, by considering the theory, but also emphasizing the computational aspects.

Some computational tests of theoretical results can be proposed. The textbooks, suggested during the course, encourage the personal deepening to learn to be independent in solving new problems.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento saranno state acquisite conoscenze e competenze nell'ambito della teoria dell'approssimazione classica e moderna, con particolare riferimento all'approssimazione polinomiale e spline e alle loro applicazioni, in particolare alla modellazione CAGD.

After completing the course, the student will have knowledge and expertise on the classical and modern approximation theory, referring to polynomial and spline approximation and their applications, particularly related to CAGD modelling.

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Programma

- Approssimazione di funzioni in spazi lineari normati. Esistenza ed unicità di approssimazioni ottime in un sottospazio di uno spazio lineare normato.  Operatori di approssimazione. 

- Approssimazione polinomiale: distanza di una funzione continua dallo spazio dei polinomi; approssimazione  polinomiale di Bernstein;  interpolazione polinomiale e suoi limiti.

- Spazi di funzioni polinomiali a tratti di ordine assegnato e con prefissati vincoli di regolarità in punti di raccordo.  Base di potenze troncate.  Base di B-spline e rappresentazione di funzioni polinomiali a tratti mediante  B-spline.  Valutazione stabile di B-spline. 

- Approssimazione spline locale e distanza di una funzione continua e regolare dallo spazio spline. Quasi-Interpolazione spline. Interpolazione spline. Approssimazione spline nel senso dei minimi quadrati.

- Alcune applicazioni della teoria delle spline, in particolare alla modellazione CAGD: analisi di metodi numerici per la costruzione di curve e superfici B-spline e B-spline razionali (NURBS); fitting di curve e superfici; tecniche avanzate di costruzione di superfici; interpolazione di un network di curve.

- Function approximation in  normed linear spaces. Existence and uniqueness of optimal approximations in a subspace of a normed linear space. Approximation operators.

- Polynomial Approximation: distance of a continuous function from the polynomial space; Bernstein polynomial approximation; polynomial interpolation and its limitations.

- Spaces of piecewise polynomial functions with a given order and smoothness constraints at break points. Truncated power function basis.  The B-spline basis and the representation of piecewise polynomial functions by B-splines.  Stable evaluation of B-splines.

- Local spline approximation and distance of a continuous and smooth function from the  spline space. Spline quasi-interpolation. Spline interpolation. Least-squares spline approximation.

- Some applications of spline theory, particularly related to CAGD modelling: analysis of numerical methods for the construction of B-spline and NURBS curves and surfaces; advanced surface construction techniques; curve and surface fitting; interpolation of a curve network.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è svolto nel secondo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale.

L'elenco dettagliato degli argomenti svolti nelle lezioni, con relativi riferimenti bibliografici, sono riportati nella pagina Moodle dell'insegnamento.

The course is carried out in the II semester and it consists of 48 h (6 CFU) of theoretical lectures.

The  detailed list of the topics shown during the lectures, with the corresponding bibliographical references, are reported in the Moodle page of the course.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova è orale, consiste in domande relative agli argomenti presentati nell'insegnamento ed è valutata in trentesimi. Si considera superata se si raggiunge una votazione maggiore o uguale a 18/30. E' garantita la possibilità di sostenere l'esame in inglese.

Si rimanda alla pagina Moodle dell'insegnamento per ulteriori informazioni.

 

The oral examination consists in questions related to the topics presented during the course and it is evaluated as X/30. It is passed if a mark greater than or equal to 18/30 is reached. Foreign students can take the exam in English, at their choice.

Further information in the Moodle page of the course.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Dall'approssimazione polinomiale all'approssimazione spline
Anno pubblicazione:  
2017
Editore:  
Collana Mathematical and Computational Biology and Numerical Analysis, Aracne
Autore:  
C. DAGNINO - P. LAMBERTI
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
The NURBS book
Anno pubblicazione:  
1997
Editore:  
Springer
Autore:  
L. Piegl, W. Tiller
ISBN  
Obbligatorio:  
No
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Per approfondimenti ed integrazioni è inoltre consigliato l'utilizzo dei seguenti testi:

  • C. de BOOR, A Practical Guide to Splines, Revised Edition, Springer (2001)
  • G. M. PHILLIPS, Interpolation and Approximation by Polynomials, CMS Books in Mathematics, Springer (2003)
  • M. J. D. POWELL, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press (1981)

Ulteriore materiale potrà essere fornito nel corso delle lezioni.


See also:

  • C. de BOOR, A Practical Guide to Splines, Revised Edition, Springer (2001)
  • G. M. PHILLIPS, Interpolation and Approximation by Polynomials, CMS Books in Mathematics, Springer (2003)
  • M. J. D. POWELL, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press (1981)

Further material will be provided during the course.



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Note

-

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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 12/09/2023 10:41

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