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Oggetto:
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Analisi Armonica e di Fourier

Oggetto:

Harmonic and Fourier Analysis

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Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0179
Docenti
Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso)
Prof. Alessandro Oliaro (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Mista
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Derivazione ed integrazione, topologia elementare, cenni su spazi di funzioni ed operatori.
Oggetto:

Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Lo scopo dell'insegnamento e quello di mostrare come due strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica e delle sue applicazioni, quali serie e trasformata di Fourier, trovino una elegante unificazione concettuale nell'ambito dell'Analisi Armonica astratta. Le competenze da acquisire riguardano l'apprendimento e l'utilizzo di specifiche tecniche di Analisi Armonica.

L'insegnamento introduce gli strumenti fondamentali della moderna Analisi Armonica e di Fourier da un punto di vista generale. In particolare l'insegnamento si sviluppa su tre livelli: analisi di Fourier in R^d, con particolare riferimento ai principi di indeterminazione per la trasformata di Fourier, analisi armonica in L^1(G) con G gruppo topologico LCA ed infine introduzione alla teoria spettrale delle algebre di Banach commutative. La comprensione complessiva degli argomenti richiede e sviluppa varie competenze specifiche di analisi funzionale, algebra e topologia.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studi previsti dalla scheda SUA-CdS, la preparazione all'esame come anche le discussioni durante il corso richiedono e stimolano lo sviluppo di capacità comunicative e di descrizione precisa di oggetti ed idee astratte, come anche la ricerca di possibili soluzioni e/o variazioni riguardo alle problematiche trattate.

Il corso fornisce un esempio di "costruzione di teoria matematica" (la teoria della traformata di Gelfand su algebre di Banach commutative) che sia sufficientemente generale per includere i casi particolari piu' signifcativi ed al contempo sufficientemente ricca e profonda per poter interpretare l'essenza degli oggetti di cui tratta. La capacita' di comprensione di questi due aspetti contrastanti, unita alla capacita' di apprendimento dei dettagli "tecnici" della costruzione stessa, costituisce un elemento indispensabile allo sviluppo di una matura mentalita' matematica.

Il corso si inserisce in modo naturale nell'ambito di una formazione di tipo analitico. Le tematiche trattate relative ad algebre di Banach e gruppi LCA costituiscono tuttavia argomenti di interesse anche per indirizzi di tipo algebrico-geometrico. Inoltre poiche' gran parte degli argomenti trattati formano la base della teoria dei segnali, il corso può essere utilmente inserito anche nell'ambito di indirizzi di carattere applicativo-modellistico.

The purpose of the course is to show how two fundamental tools of Mathematical Analysis and its applications, such as Fourier series and Fourier transform, find an elegant unifying conceptual framework in Abstract Harmonic Analysis. The acquired competencies relate to the learning and the use of some tipical methods for Harmonic Analysis.
 
The course introduces the basic tools of modern harmonic analysis and Fourier analysis from a general point of view. In particular, the course is spread over three levels: Fourier analysis in R^d, connected in particular with uncertainty principles for the Fourier transform, harmonic analysis on L^1(G) where G is a LCA topological group, and finally an introduction to the spectral theory of commutative Banach algebras. The overall understanding of the topics requires and develops various skills specific of functional analysis, algebra and topology.
  
In accordance with the learning targets of Course of Studies in Mathematics (SUA-CdS documents), the exam preparation, as well as the discussions during the course, require and stimulate the development of non-trivial communication skills aimed at the precise description of abstract objects, ideas as well as the research for possible solutions and/or variations for the issues and problems presented in the course.
 
The course provides an example of "the construction of a mathematical theory" (the theory of Gelfand transform of commutative Banach algebras) that is sufficiently general to include signifcative special cases, and at the same time sufficiently rich and deep to be able to interpret the essence the objects it deals with. The awareness of these two contrasting aspects, combined with the ability to understand the technical details of the mathematical building itself, is an essential element in the development of a mature mathematical mentality.

The course is natural part of the usual back-ground for scolar routes in mathematical analysis. Subjects like Banach algebras and LCA groups are however of interest also for more algebraic-geometric oriented routes. Furthemore, as much of the content is the basis of modern signal theory, the course can also be profitably included in more application oriented routes. 

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Risultati dell'apprendimento attesi

L'insegnamento porta all'acquisizione critica degli strumenti, degli oggetti matematici e dei metodi usualmente utilizzati nell'Analisi Armonica e di Fourier. Una buona assimilazione di questi concetti permette allo studente di comprendere ed affrontare varie problematiche relative agli attuali sviluppi del settore anche in connessione con altri settori della matematica quali ad esempio l'analisi armonica non commutativa, la teoria delle algebre di operatori e, da lato piu' applicativo, l'analisi tempo-frequenza di segnali.

The course leads to a critical learning of the tipical tools of Harmonic and Fourier Analysis. This permits to the student to furhter approach some of the most modern and active reasearch areas in mathematics, namely, non-commutative analysis, operator algebras, time-frequecy analysis.

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Programma

-       Algebre di Banach, Trasformata di Gelfand;

-       Gruppi localmente compatti abeliani (LCA); Duale di un gruppo LCA, Trasformata di Fourier su gruppi LCA.

-       Serie e trasformata di Fourier in R^d;  "Buoni  Nuclei";  funzione di Weierstrass;  fenomeno di Gibbs

-       Principi di indeterminazione per la trasformata di Fourier

-       Banach Algebras, Gelfand Transform;

-       Abelian locally compact groups; Dual of a LCA group,  Fourier Transform on LCA groups.

-       Fourier series and transform in R^d; "Good kernels"; Weierstrass function; Gibbs phenomenon

-       Uncertainty principles for the Fourier transform.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è svolto tramite lezioni frontali in cui notevole peso assume la componente interattiva tra docente e studenti.

Le lezioni si svolgeranno in presenza, e verrano trasmesse via webex tramite la pagina personale dei docenti

https://unito.webex.com/meet/paolo.boggiatto

https://unito.webex.com/meet/alessandro.oliaro

 

The course is given through traditional teacher-led lessons where strong relevance is attributed to the interactive duscussion between theacher and students.

The lessons will take place in presence, and will be transmitted via webex through the personal page of the teachers

https://unito.webex.com/meet/paolo.boggiatto

https://unito.webex.com/meet/alessandro.oliaro

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale: La prova orale consiste in domande relative alla teoria generale, enunciati, dimostrazioni ed esempi presentati nell'insegnamento. Non e' richiesto lo svolgimento di esercizi. E' possibile sostenere l'esame in inglese. Il voto finale e' espresso in trentesimi.

Oral text: general theory,  statements, proofs, and examples presented in the corse will be required, no exercise will be required. It is possible to take the examination in english. The final grade is expressed out of thirty 

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
A Course in Abstract Harmonic Analysis
Anno pubblicazione:  
1995
Editore:  
CRC Press
Autore:  
G. Folland
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Fourier Analysis on Groups
Anno pubblicazione:  
1990
Editore:  
Wiley
Autore:  
W. Rudin
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

Verranno forniti durante il corso riferimenti bibligrafici riguardo ai principi di indeterminazione per la trasformata di Fourier

 

Some references regarding the uncertainty principles for the Fourier transform will be provided during the course

 



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Note

Modalità di verifica/esame: L'esame consiste di un colloquio orale sugli argomenti svolti a lezione. NOTA: per particolari esigenze potranno essere eventualmente concordate date d'esame indipendentemente dal calendario ufficiale, ma sempre entro le sessioni d'esami.

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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 08/06/2022 10:28