Laurea magistrale in Matematica

Calcolo e Analisi Matematica in uno e più variabili. Equazioni ordinarie. Un corso introduttivo alla Teoria della Misura e integrale di Lebesgue

Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione dei concetti, delle strutture e dei risultati fondamentali dell’Analisi funzionale e della Teorie della misura di Lebesgue, attraverso un’ampia ed articolata visione panoramica dei numerosi temi principali e delle loro interconnessioni, accompagnata da dimostrazioni rigorose di molti teoremi, selezionati sia per la loro importanza, sia per il valore paradigmatico delle dimostrazioni . Queste conoscenze sono essenziali per uno studio di livello magistrale ed eventualmente successivo in molte discipline matematiche. L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame con capacità critica di analizzare sia il ruolo relativo delle ipotesi, sia la portata conseguente delle tesi.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

 

Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). L'utilizzo di vari libri accanto a un testo principale si propone di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso costituisce un primo passo verso l'analisi funzionale, tema specialistico di grande interesse per le applicazioni soprattutto nelle equazioni differenziali (obiettivo 5) e sono uno strumento indispensabile per la ricerca sia nell'ambito dell'analisi lineare che in quella non lineare (obiettivo 9). Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving.

 

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving (obiettivi 1,2,3,5). Talvolta potranno suggerire allo studente verifiche computazionali di risultati teorici, anche al fine di illustrare alcuni problemi aperti (obiettivo 9).

 

Autonomia di giudizio (making judgements) La natura istituzionale del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). L’assegnazione regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L’ampia letteratura suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7)

 

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono tutti in lingua Inglese, abituando lo studente all’uso dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame, sia scritto che orale, costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2)

 

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1 e 2)

Gli studenti dovranno famigliarizzare i con i concetti seguenti: Teoria della Misura e Integrazione di Lebesgue. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, sparabilità. Spazi L^p. Lo spazio H^1. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell’Analisi funzionale. Operatori lineari continui.  Autovalori di operatori autoaggiunti compatti.

Esame scritto di Teoria ed esercizi

Programma

1. Compattezza negli spazi di funzioni
1.1. Compattezza e completezza. Assoluta continuità.
1.2. Il Teorema di Ascoli-Arzelà
1.3. Applicazioni: teorema di Peano, teorema di Leray-Schauder
2. Richiami e complementi di teoria della misura e all'integrale di Lebesgue (Appendice del Brezis)
2.1. Completezza di L^p(E) come spazio vettoriale normato.
2. 2. Compattezza in L^p; Teorema di Riesz-Fréchet-Kolmogorov.
2.10. Misura prodotto e Teorema di Fubini-Tonelli.
3. I Teoremi di Hahn-Banach (Cap I)
3.1. Il Lemma di Zorn e la forma analitica del Teorema di Hahn-Banach: prolungamento di
forme lineari su spazi vettoriali.
3.2. Prima e seconda forma geometrica del Teorema di Hahn-Banach. Separazione di insieme
convessi.

3.3. Definizione di funzione coniugata. Funzione coniugata di s^p. Esponente coniugato.

Esercizi consigliati: da 1 a 19 e 18(h).
4. I Teoremi di Banach-Steinhaus e del gra co chiuso (Cap II)
4.1. Il Lemma di Baire.
4.2. Il Teorema di Banach-Steinhaus.
4.3. I Teoremi dell'applicazione aperta e del gra co chiuso.
Esercizi consigliati: da 1 a 5,7.
5. Topologie deboli, spazi ri essivi, spazi separabili, spazi uniformemente convessi (Cap III)
5.1. La topologia meno ne che rende continua una famiglia di funzioni.
5.2. De nizione e propriet a elementari della topologia debole (E;E0).
5.3. Topologia debole, insieme convessi, operatori lineari.
5.4. La topologia debole * (E0;E). Il Teorema di Banach-Alaoglu.
5.5. Spazi ri essivi: compattezza della palla unitaria nella topologia debole (senza dimostrazione).
Minimizzazione di funzioni convesse su spazi ri essivi.
5.6. Spazi separabili e metrizzabilit a della palla unitaria munita della topologia debole (senza dimostrazioni).
5.7. Spazi uniformemente convessi. Ri essivit a degli spazi u.c. (senza dimostrazione).
Esercizi consigliati: da 1 a 23, da 28 a 32.
6. Spazi Lp (Cap IV)
6.1. De nizione e propriet a di base degli spazi Lp. Disuguaglianze di H older e di Young. Completezza.
6.2. Ri essivit a, separabilit a, duale degli Lp.
6.3. Convoluzione : propriet a di base.
Esercizi consigliati: da 1 a 9,12,13,15,16,32.
7. Spazi di Hilbert (Cap V)
7.1. Definizione. Propriet a elementari. Teorema della proiezione su un convesso chiuso.
7.2. Il duale di uno spazio di Hilbert.
7.3. Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram (senza dimostrazione).
Esercizi consigliati: da 1 a 12,14,15,19,26.

Seconda Parte

OPERATORI LINEARI

- Operatori autoaggiunti

- Operatori di Fredholm con nucleo di Hilbert-Schmidt: limitatezza e nucleo dell'aggiunto

- Spettro di un operatore limitato. Spettro, autovalori ed autofunzioni di un operatore autoaggiunto

- Operatori compatti in spazi di Banach e loro spettro

- Compattezza degli operatori di Fredholm.

DISTRIBUZIONI DI SCHWARTZ

- Le funzioni test

- Lo spazio delle distribuzioni di Schwartz D'

- Le funzioni continue viste come distribuzioni

- La delta di Dirac e le densità di strato

- Derivata nel senso delle distribuzioni delle funzioni con discontinuità di prima specie

- Le equazioni differenziali impulsive

ESERCIZI

- Equazioni integrali di Pincherle-Goursat (rango 1 e rango 2)

- Derivate nel senso delle distribuzioni delle funzioni

- Soluzione delle equazioni impulsive

 

SEMINARI

EQUAZIONI FUNZIONALI NEL SENSO DI ACZEL, Seminari tenuti dalla Prof.ssa Fulvia Skof

Analisi funzionale. Teoria e Applicazioni (di Ha m Br ezis), con un'appendice sull'integrazione astratta

di Carlo Sbordone Liguori editore (1986).

Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale (A. Kolmogorov-F. Fomin), Edizioni MIR
(1980).

Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Di erential Equations. (di Ha m Br ezis), Springer
(2011), testo di riferimento per gli esercizi

SECONDA PARTE DEL CORSO: sono disponibili presso gli uscieri le dispense: 1) Operatori lineari 2)Distribuzioni di Schwartz