Laurea magistrale in Matematica

Istituzioni di Analisi Matematica (DM 270) - a.a. 2013/14

ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS AND MEASURE THEORY

Anno accademico 2013/2014

Sommario insegnamento

• Obiettivi formativi
• Risultati dell'apprendimento attesi
• Attività di supporto
• Programma
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Altre informazioni
• Strumenti didattici

Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione dei concetti, delle strutture e dei risultati fondamentali dell’Analisi funzionale e della Teorie della misura di Lebesgue, attraverso un’ampia ed articolata visione panoramica dei numerosi temi principali e delle loro interconnessioni, accompagnata da dimostrazioni rigorose di molti teoremi, selezionati sia per la loro importanza, sia per il valore paradigmatico delle dimostrazioni . Queste conoscenze sono essenziali per uno studio di livello magistrale ed eventualmente successivo in molte discipline matematiche. L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame con capacità critica di analizzare sia il ruolo relativo delle ipotesi, sia la portata conseguente delle tesi.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). L'utilizzo di vari libri accanto a un testo principale si propone di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso costituisce un primo passo verso l'analisi funzionale, tema specialistico di grande interesse per le applicazioni soprattutto nelle equazioni differenziali  (obiettivo 5) e sono uno strumento indispensabile per la ricerca sia nell'ambito dell'analisi lineare che in quella non lineare (obiettivo 9). Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving (obiettivi 1,2,3,5). Talvolta potranno suggerire allo studente verifiche computazionali di risultati teorici, anche al fine di illustrare alcuni problemi aperti (obiettivo 9).

Autonomia di giudizio (making judgements) La natura istituzionale del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). L’assegnazione  regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L’ampia letteratura suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7)

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono tutti in lingua Inglese, abituando lo studente all’uso dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame, sia scritto che orale, costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2)

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1 e 2)

Risultati dell'apprendimento attesi

Teoria della Misura eIntegrazione di Lebesgue. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, sparabilità. Spazi L^p. Lo spazio H^1. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell’Analisi funzionale. Operatori lineari continui.  Autovalori di operatori autoaggiunti compatti. 

Attività di supporto

Tutorato.

Programma

1. Richiami sulle serie
1.1. Famiglie sommabili di numeri non negativi e loro somma come estremo superiore delle
somme nite. Proprieta della somma: associativia, invarianza per riordinamenti. Relazione con le
serie.
1.2. -additivita della somma: somme su due o piu indici.
1.3. Serie convergenti ma non assolutamente convergenti. Teorema dei riordinamenti di Riemann.
2. Introduzione alla misura e all'integrale di Lebesgue (Appendice)
2.1. Misure nitamente additive su algebre di insiemi. Misure -additive su -algebre di insiemi.
-algebra generata da una famiglia di insieme.
2.2. Spazi misurabili e spazi di misura. Continuita della misura di successioni monotone rispetto
all'inclusione.
2.3. Intervalli e misura esterna in Rn. Insiemi misurabili secondo Lebesgue in Rn. -additivita
della misura di Lebesgue.
2.4. Funzioni misurabili e loro proprieta. Convergenza quasi ovunque. Misurabilita del limite
puntuale e di quello quasi ovunque di successioni di funzioni misurabili.
2.5. Funzioni semplici integrale di Lebesgue e proprieta di base. Disuguaglianza di Cebisev.
Misura e densita: Il Teorema di Radon-Nikodim (senza dimostrazione).
2.6. L'insieme di Cantor e la funzione di Cantor-Vitali. Esempio di insieme non misurabile.
2.7. Teoremi di convergenza: Teoremi di Beppo Levi, di Fatou e di Lebesgue.
2.8. Applicazioni dei teoremi di convergenza: confronto fra l'integrale di Riemann e quello di
Lebesgue. Continuita e derivabilita degli integrali dipendenti da un parametro. Lunghezza di una
curva.
2.9. Teorema di Severini-Egorov (convergenza quasi uniforme). Convergenza in misura. Convergenza
in L^1(A). Completezza di L^1(E) come spazio vettoriale normato.
2.10. Misura prodotto e Teorema di Fubini-Tonelli.
3. I Teoremi di Hahn-Banach (Cap I)
3.1. Il Lemma di Zorn e la forma analitica del Teorema di Hahn-Banach: prolungamento di
forme lineari su spazi vettoriali.
3.2. Prima e seconda forma geometrica del Teorema di Hahn-Banach. Separazione di insieme
convessi.

3.3. Denizione di funzione coniugata. Funzione coniugata di s^p. Esponente coniugato.

Esercizi consigliati: da 1 a 19 e 18(h).
4. I Teoremi di Banach-Steinhaus e del graco chiuso (Cap II)
4.1. Il Lemma di Baire.
4.2. Il Teorema di Banach-Steinhaus.
4.3. I Teoremi dell'applicazione aperta e del graco chiuso.
Esercizi consigliati: da 1 a 5,7.
5. Topologie deboli, spazi ri essivi, spazi separabili, spazi uniformemente convessi (Cap III)
5.1. La topologia meno ne che rende continua una famiglia di funzioni.
5.2. Denizione e proprieta elementari della topologia debole (E;E0).
5.3. Topologia debole, insieme convessi, operatori lineari.
5.4. La topologia debole * (E0;E). Il Teorema di Banach-Alaoglu.
5.5. Spazi ri essivi: compattezza della palla unitaria nella topologia debole (senza dimostrazione).
Minimizzazione di funzioni convesse su spazi ri essivi.
5.6. Spazi separabili e metrizzabilita della palla unitaria munita della topologia debole (senza
dimostrazioni).
5.7. Spazi uniformemente convessi. Ri essivita degli spazi u.c. (senza dimostrazione).
Esercizi consigliati: da 1 a 23, da 28 a 32.
6. Spazi Lp (Cap IV)
6.1. Denizione e proprieta di base degli spazi Lp. Disuguaglianze di Holder e di Young. Completezza.
6.2. Ri essivita, separabilita, duale degli Lp.
6.3. Convoluzione : proprieta di base.
Esercizi consigliati: da 1 a 9,12,13,15,16,32.
7. Spazi di Hilbert (Cap V)
7.1. Denizione. Proprieta elementari. Teorema della proiezione su un convesso chiuso.
7.2. Il duale di uno spazio di Hilbert.
7.3. Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram (senza dimostrazione).
Esercizi consigliati: da 1 a 12,14,15,19,26.
2

Seconda Parte

OPERATORI LINEARI

- Operatori autoaggiunti

- Operatori di Fredholm con nucleo di Hilbert-Schmidt: limitatezza e nucleo dell'aggiunto

- Spettro di un operatore limitato. Spettro, autovalori ed autofunzioni di un operatore autoaggiunto

- Operatori compatti in spazi di Banach e loro spettro

- Compattezza degli operatori di Fredholm.

DISTRIBUZIONI DI SCHWARTZ

- Le funzioni test

- Lo spazio delle distribuzioni di Schwartz D'

- Le funzioni continue viste come distribuzioni

- La delta di Dirac e le densità di strato

- Derivata nel senso delle distribuzioni delle funzioni con discontinuità di prima specie

- Le equazioni differenziali impulsive

ESERCIZI

- Equazioni integrali di Pincherle-Goursat (rango 1 e rango 2)

- Derivate nel senso delle distribuzioni delle funzioni

- Soluzione delle equazioni impulsive

SEMINARI

EQUAZIONI FUNZIONALI NEL SENSO DI ACZEL, Seminari tenuti dalla Prof.ssa Fulvia Skof

Analisi funzionale. Teoria e Applicazioni (di Ham Brezis), con un'appendice sull'integrazione astratta
di Carlo Sbordone Liguori editore (1986).

 Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale (A. Kolmogorov-F. Fomin), Edizioni MIR
(1980).

Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Dierential Equations. (di Ham Brezis), Springer
(2011), testo di riferimento per gli esercizi

SECONDA PARTE DEL CORSO: sono disponibili presso gli uscieri le dispense: 1) Operatori lineari 2)Distribuzioni di Schwartz

Note

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA, MFN0510 (DM 270), 9 CFU: 9 CFU, MAT/05, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione teorica avanzata. Modalità di verifica/esame: Scritto di ammissione all'orale. In sede di esame scritto si proporranno esercizi la cui soluzione prevede una selezione ed uno sviluppo autonomo di risultati collegati ali contenuti del corso. Tuttavia lo scritto sara' sostanzialmente un test di accesso all'orale. Sara' richiesto di dare definizioni, enunciare risultati, fornire qualche breve passaggio di deduzioni, risolvere qualche esercizio, in particolare sul passaggio al limite sotto segno di integrale. In sede di esame orale il candidato dovrà saper esporre i concetti fondamentali e i risultati fondamentali con un’analisi critica dei loro collegamenti e del contesto nel quale si collocano. Il candidato dovrà inoltre essere in grado di esporre in modo chiaro e convincente qualche dimostrazione rigorosa.

Altre informazioni

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