- Oggetto:
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Istituzioni di Analisi Matematica
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ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS
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Anno accademico 2016/2017
- Codice dell'attività didattica
- MFN0510
- Docenti
- Prof. Luigi Rodino (Titolare del corso)
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
-
Calcolo e Analisi Matematica in uno e più variabili. Equazioni differenziali ordinarie. Un corso introduttivo alla Teoria della Misura e integrale di LebesgueCalculus and mathematical Analysis in one and several real variables. Ordinary Differential Equations. Basics of Lebesgue Measure and integration Theory.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Questo corso introduce alla teoria degli spazi vettoriali infinito-dimensionali e degli operatori fra questi, con una particolare attenzione agli spazi vettoriali normati e alle loro proprietà di completezza, compattezza, e alle diverse topologie non equivalenti. Le applicazioni di questa teoria riguardano principalmente gli spazi di funzioni continue, integrabili, differenziali e gli operatori differenziali ed integrali fra queste. Nel corso si introducono gli strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica moderna, aprendo la strada allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali e al calcolo delle variazioni. E' un corso di interesse teorico in sé, ed è fondamentale per molti campi della matematica applicata, in particolare per la Probabilità e l'Analisi Numerica.This course introduces the theory of infinite-dimensional vector spaces and theat of operators between them, with a special focus on the concepts of normed vector spaces, completeness, compactness, and the different topologies (not equivalent) which characterize the infinite domensional spaces. The applications of this theory concern spaces of continuous, diffentiable or integrable functions, and the operators (integral and differential) between them. In this course we will introduce the basic tools of modern mathematical Analysis, paving the way to the study of partial differential equations and the calculus of variations. This is a fundamental course also for many fields of applied mathematics, in particular for Probability and Numerical Analysis.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Gli studenti del corso dovranno confrontarsi con il fatto che, negli spazi infinito-dimensionali,- gli insiemi chiusi e limitati non sono sempre compatti,
- le applicazioni lineari non sono sempre continue,
- le funzioni continue sui chiusi e limitati non hanno sempre minimimo e massimo,
- gli operatori lineari iniettivi da uno spazio in sé possono non essere suriettivi ( e viceversa).
Alla fine del corso gli studenti avranno elaborato degli strumenti fondamentali per superare queste difficoltà ed estendere la teoria lineare anche agli spazi infinito-dimensionale e saranno pronti ad affrontare la geometrizzazione dell'Analisi Matematica.
The students will become acquainted with the fact that in the infinite-dimensional spaces,
- bounded and closed sets are not compact,
- linear maps are not always continuous,
- continuous functions on bounded and closed and sets need not to admit minimum and maximum,
-linear injective endomorphisms need not to be surjective (and vice versa).
At the end of the course students will have developed the fundamental tools to overcome these difficulties and extend the linear theory also to infinite-dimensional spaces and are ready to deal with the geometrization of Mathematical Analysis.
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Modalità di insegnamento
Lezioni della durata di 72 ore complessive (9 CFU), che si svolgono in aula di lezione. Durante le lezioni verranno assegnati problemi ed esercizi.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta in cui verranno proposte diverse domande di teoria ed esercizi. Verrà richiesta la conoscenza delle definizioni, degli enunciati dei teoremi e delle loro dimostrazioni ed applicazioni e di saper risolvere degli esercizi. Il voto finale sarà espresso in trentesimi.The final examination consists of a choice of several questions of theory and exercises. Students will be required to know the definitions, the statements of the theorems and their proofs and applications, and to be able to solve the exercises. The final grade will be out of thirty.- Oggetto:
Programma
ProgrammaGeometria e topologia degli spazi di dimensione infinita. Compattezza e Toerema di Ascoli Arzelà. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, sparabilità. Spazi L^p. Lo spazio H^1. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell’Analisi funzionale. Operatori lineari continui. Operatori autoggiunti. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti. Operatori integro-differenziali. Operatori di Fredholm.
Programma dettagliato della prima parte del corso: https://dl.dropboxusercontent.com/u/21889633/materiale_didattico/programma2015-16.pdf
Geometry and topology of infinite-dimensional spaces. Compactness and Ascoli Arzelà Theorem. Banach and Hilbert spaces . Strong and weak topologies. Reflexivity, separable spaces. L^p spaces. The space H^1. Baire Lemma and the fndamental theorems of Functional Analysis. Bounded linear operators. Self-adjoint operators. Eigenvalues of compact self-adjoint operators. Integral-differential operators. Fredholm operators.
Detailed programma of the first part of the course: https://dl.dropboxusercontent.com/u/21889633/materiale_didattico/programma2015-16.pdf
Testi consigliati e bibliografia
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Haim Brézis: Analisi funzionale. Teoria e Applicazioni (con un'appendice sull'integrazione astratta di Carlo Sbordone); Liguori editore (1986).A. Kolmogorov-F. Fomin: Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale, Edizioni MIR (1980).
Haim Brézis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2011), testo di riferimento per gli esercizi
SECONDA PARTE DEL CORSO: sono disponibili presso gli uscieri le dispense: 1) Operatori lineari 2)Distribuzioni di Schwartz
Analisi funzionale. Teoria e Applicazioni (di Ha im Br ezis), con un'appendice sull'integrazione astratta di Carlo Sbordone Liguori editore (1986).Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale (A. Kolmogorov-F. Fomin), Edizioni MIR (1980).
Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. (di Haim Brézis), Springer (2011), testo di riferimento per gli esercizi
SECONDA PARTE DEL CORSO: sono disponibili presso gli uscieri le dispense: 1) Operatori lineari 2)Distribuzioni di Schwartz
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Orario lezioni
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Note
ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA, MFN0510 (DM 270), 9 CFU: 9 CFU, MAT/05, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione teorica avanzata.
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Altre informazioni
Materiale didattico e informazioni varie su https://sites.google.com/site/susannaterracini/corsi- Oggetto:
