- Oggetto:
- Oggetto:
AV-Analisi su Varietà (DM 270) - a.a. 2014/15
- Oggetto:
Analysis on manifolds
- Oggetto:
Anno accademico 2014/2015
- Codice dell'attività didattica
- MFN1647
- Docenti
- Prof. Sandro Coriasco (Titolare del corso)
Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
MAT/07 - fisica matematica - Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Ist. di Analisi Matematica (anche in parallelo)Ist. di Analisi Matematica (also in the same teaching term)
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Scopo del corso è illustrare alcune delle tematiche relative allo studio degli operatori differenziali su varietà e delle relative tecniche utilizzate in tale ambito. Si attende dallo studente la capacità di affrontare ed approfondire autonomamente la teoria delle equazioni alle derivate parziali su varietà senza bordo, e/o dei problemi ai limiti su varietà con bordo, per gli “operatori naturali” definiti su di esse. Lo studente acquisirà anche le conoscenze di base della teoria degli spazi funzionali introdotti a tale scopo, ed alcuni elementi della teoria degli operatori pseudo-differenziali su varietà.INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e comprensione
Il corso, presentando argomenti avanzati e collegati a temi di ricerca, permette di sviluppare nuovi livelli di astrazione, combinando lo studio di diverse teorie formali e delle loro relazioni (obiettivo 3). Verranno acquisite conoscenze matematiche specialistiche, utili per l'avviamento alla ricerca (obiettivi 5,9). L'indicazione di diversi libri di riferimento, che utilizzano approcci differenti alle tematiche oggetto del corso, è volta al miglioramento delle capacità dello studente riguardo la comprensione della letteratura matematica (obiettivo 2).Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Le tematiche affrontate e le attività seminariali previste durante il corso hanno, fra i loro obiettivi, il miglioramento delle capacità di riconoscimento e comprensione di nuove problematiche (di carattere teorico), e delle abilità di ragionamento e dimostrazione matematica rigorosa (obiettivi 1,2,3,5). Sempre tramite tali attività, si intende favorire l'acquisizione di strumenti teorici avanzati, che permettano di iniziare a studiare alcuni semplici aspetti di temi di ricerca specifici (obiettivo 4).Autonomia di giudizio
Tramite la preparazione e lo svolgimento di seminari, che potranno comportare anche la stesura di brevi note su argomenti correlati alle tematiche affrontate nel corso, lo studente accrescerà la sua capacità di riconoscimento del ruolo delle ipotesi e delle potenzialità delle conclusioni nelle dimostrazioni (obiettivi 1,2). Le medesime attività implicheranno l'approfondimento individuale dei temi trattati nel corso, e favoriranno l'aumento dell'autonomia dello studente nell’affrontare nuove problematiche ad essi collegate (obiettivo 7).Abilità comunicative
I testi suggeriti per il corso, con un'unica eccezione, sono tutti in lingua Inglese. Lo studio di tali testi aiuterà lo studente ad abituarsi all'utilizzo dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1) ed a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).Capacità di apprendimento
Il lavoro richiesto durante la frequenza alle lezioni di questo corso è un'attività utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello (obiettivi 1,2).The aim of the course is to illustrate some of the topics connected with the study of the differential operators on manifolds, and of the associated techniques used in this environment. The students are expected, at the end of the course, to have acquired the ability to expand autonomously the study of partial differential equations on manifolds without boundary, and/or of the boundary value problems on manifolds with boundary, associated with "natural operators" defined on such manifolds. The student will also learn the basic elements of the theory of the functional spaces defined to solve these problems, as well as part of the theory of psudo-differential operators on manifolds.DUBLIN INDICATORS (with reference to the Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Knowledge and understanding
The course, illustrating advanced topics, linked to active research areas, allows to develop new levels of abstraction, combining the study of different formal theories and of their relations (goal 3). Specific mathematical notions will be learned, useful for the introduction to research activities (goals 5.9). Listing different textbooks, which make use of different approaches to the topics illustrated in the course, is aimed at improving the abilities of the students about the understanding of the mathematical literature (goal 2).Applying knowledge and understanding
The topics examined in the lectures and the seminar activities within the course have, among their aims, the improvement of the abilities of recognizing and understanding new problems (of theoretical type), and of the rigorous reasoning and proof of mathematical results (goals 1,2,3,5). Moreover, through such activities, the acquisition of advanced theoretical tools is favored, to allow the students to start studying by themselves some simple aspects of specific research topics (goal 4).Making judgements
Through the preparation and the exposition of seminars, which could also involve writing short notes on topics connected with the contents of the course, the students will increase their abilities of understanding the role of the hypotheses and the potential of the conclusions in the proofs (goals 1,2).
The same activities will imply the individual study and expansion of the contents of the lectures, and will favor an increased autonomy of the students in confronting new problems (goal 7).Communication skills
The suggested textbooks, apart a single exception, are all in English language. The study of such textbooks will help the students to get more and more used to employ the Eglish language for scientific communications (goal 1), and to be able to express themselves in a mathematically rigorous way (goal 2).Learning skills
The work required to the students during the lectures of this course is an activity which favors the development of a flexible attitude, useful for the third level studies (goals 1,2).- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Funzioni e distribuzioni su varietà differenziabili. Simbolo di un operatore differenziale. Operatori ellittici. Studio delle proprietà di regolarità globali delle soluzioni di equazioni differenziali su varietà.Functions and distirbutions on manifolds. Symbol of a differential operator. Elliptic operators. Study of the global regularity properties of the solutions of differential equations on manifolds.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame prevede la presentazione di alcuni dei risultati studiati nel corso, sia per la parte di analisi che per la parte di fisica matematica. I temi sono a scelta dello studente, all'interno di due elenchi degli stessi forniti dai docenti. È richiesto che lo studente presenti le idee e le tecniche fondamentali utilizzate nella dimostrazione dei risultati e ne esponga la traccia. E' inoltre richiesto lo svolgimento di un seminario su argomenti collegati al corso, concordato coi docenti.The exam consists in presenting the some results considered in the course, both for analysis and for mathematical physics. Topics are chosen by the student within two lists provided by the teachers. It is required that the student presents the main ideas and fundamental techniques used in the proof of results. Moreover, it is required a seminar about some topic connected to the topics studied during the course, to be previously agreed with the teachers.- Oggetto:
Programma
Concetto di varietà, espressioni in coordinate.
Fibrato tangente, campi vettoriali e flussi.
Connessioni e sistemi di equazioni a derivate parziali su varietà.
Spazi funzionali e distribuzioni su varietà.Simbolo di operatori differenziali lineari. Ellitticità.
Problemi ai limiti su varietà con bordo. Problema di Cauchy in Relatività Generale.
Definition of manifold, expressions in coordinates.
Tangent bundle, vector fields and flows.
Connections and systems of partial differential equations on manifolds.
Function spaces and distributions on manifolds.
Symbol of linear differential operators. Ellipticity.
Boundary value problems on manifolds with boundary. Cauchy problem in General Relativity.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, 1983-85.
de Rham, Varietes differentiables: Formes, courants, formes harmoniques, Hermann, 1973.
B. Pini, Terzo corso di analisi matematica: Cap. 1 Operatori lineari negli spazi L^p, CLUEB, 1994.
X. Saint Raymond, Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, CRC Press, 1991.
H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics , Vol.218 L. Fatibene, M. Francaviglia, Natural and gauge natural formalism for classical field theories. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003 L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1983-85. H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, 1983-85.de Rham, Varietes differentiables: Formes, courants, formes harmoniques, Hermann, 1973.
B. Pini, Terzo corso di analisi matematica: Cap. 1 Operatori lineari negli spazi L^p, CLUEB, 1994.
X. Saint Raymond, Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, CRC Press, 1991.
H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics , Vol.218 L. Fatibene, M. Francaviglia, Natural and gauge natural formalism for classical field theories. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003 L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1983-85. H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
- Oggetto:
Orario lezioni
Giorni Ore Aula Lezioni: dal 02/03/2015 al 05/06/2015 Nota: Per l'orario delle lezioni consultare la pagina "Orario Lezioni":http://www.educmatematica.unito.it/CMSOrari/index.html
- Oggetto:
Note
ANALISI SU VARIETA', MFN1647 (DM 509) , 6 CFU: 4 CFU, MAT/05; 2 CFU MAT/07, TAF C (Affine), Ambito affine o integrativo.ANALISI SU VARIETA', MFN1647 (DM 509) , 6 CFU: 4 CFU, MAT/05; 2 CFU MAT/07, TAF C (Affine), Affine or integrative environment.- Oggetto:
