- Oggetto:
- Oggetto:
AV-Analisi su Varietà (DM 270) - a.a. 2013/14
- Oggetto:
Analysis on manifolds
- Oggetto:
Anno accademico 2013/2014
- Codice dell'attività didattica
- MFN1647
- Docenti
- Prof. Sandro Coriasco (Titolare del corso)
Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
MAT/07 - fisica matematica - Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
- Ist. di Analisi Matematica (anche in parallelo)
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Scopo del corso è illustrare alcune delle tematiche relative allo studio degli operatori differenziali su varietà e delle relative tecniche utilizzate in tale ambito. Si attende dallo studente la capacità di affrontare ed approfondire autonomamente la teoria delle equazioni alle derivate parziali su varietà senza bordo, e/o dei problemi ai limiti su varietà con bordo, per gli “operatori naturali” definiti su di esse. Lo studente acquisirà anche le conoscenze di base della teoria degli spazi funzionali introdotti a tale scopo, ed alcuni elementi della teoria degli operatori pseudo-differenziali su varietà.
INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding)
Il corso, presentando argomenti avanzati e collegati a temi di ricerca, permette di sviluppare nuovi livelli di astrazione, combinando lo studio di diverse teorie formali e delle loro relazioni (obiettivo 3). Verranno acquisite conoscenze matematiche specialistiche, utili per l'avviamento alla ricerca (obiettivi 5,9). L'indicazione di diversi libri di riferimento, che utilizzano approcci differenti alle tematiche oggetto del corso, è volta al miglioramento delle capacità dello studente riguardo la comprensione della letteratura matematica (obiettivo 2).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)
Le tematiche affrontate e le attività seminariali previste durante il corso hanno, fra i loro obiettivi, il miglioramento delle capacità di riconoscimento e comprensione di nuove problematiche (di carattere teorico), e delle abilità di ragionamento e dimostrazione matematica rigorosa (obiettivi 1,2,3,5). Sempre tramite tali attività, si intende favorire l'acquisizione di strumenti teorici avanzati, che permettano di iniziare a studiare alcuni semplici aspetti di temi di ricerca specifici (obiettivo 4).
Autonomia di giudizio (making judgements)
Tramite la preparazione e lo svolgimento di seminari, che potranno comportare anche la stesura di brevi note su argomenti correlati alle tematiche affrontate nel corso, lo studente accrescerà la sua capacità di riconoscimento del ruolo delle ipotesi e delle potenzialità delle conclusioni nelle dimostrazioni (obiettivi 1,2). Le medesime attività implicheranno l'approfondimento individuale dei temi trattati nel corso, e favoriranno l'aumento dell'autonomia dello studente nell’affrontare nuove problematiche ad essi collegate (obiettivo 7).
Abilità comunicative (communication skills)
Lo studio dei testi suggeriti per il corso, tutti in lingua Inglese, aiuterà lo studente ad abituarsi all'utilizzo dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1) ed a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).
Capacità di apprendimento (learning skills)
Il lavoro richiesto durante la frequenza alle lezioni di questo corso è un'attività utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello (obiettivi 1,2)- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Funzioni e distribuzioni su varietà differenziabili. Simbolo di un operatore differenziale. Operatori ellittici. Studio delle proprietà di regolarità globali delle soluzioni di equazioni differenziali su varietà.
- Oggetto:
Programma
Concetto di varietà, espressioni in coordinate.
Fibrato tangente, campi vettoriali e flussi.
Connessioni e sistemi di equazioni a derivate parziali su varietà.
Spazi funzionali e distribuzioni su varietà.Simbolo di operatori differenziali lineari. Ellitticità.
Problemi ai limiti su varietà con bordo. Problema di Cauchy in Relatività Generale.
Definition of manifold, expressions in coordinates.
Tangent bundle, vector fields and flows.
Connections and systems of partial differential equations on manifolds.
Function spaces and distributions on manifolds.
Symbol of linear differential operators. Ellipticity.
Boundary value problems on manifolds with boundary. Cauchy problem in General Relativity.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics , Vol.218 L. Fatibene, M. Francaviglia, Natural and gauge natural formalism for classical field theories. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003 L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1983-85. H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
- Oggetto:
Note
ANALISI SU VARIETA', MFN1647 (DM 509) , 6 CFU: 4 CFU, MAT/05; 2 CFU MAT/07, TAF C (Affine), Ambito affine o integrativo. Modalità di verifica/esame: L’esame consiste in una prova orale sugli argomenti trattati nel corso.
- Oggetto:
