Laurea magistrale in Matematica

Conoscenze di base su: geometria proiettiva, curve e superficie differenziali, funzioni reali di piu' variabili.

Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati di base riguardanti la geometria algebrica e la geometria differenziale la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari da un punto di vista più generale e necessariamente astratto, offrendo anche così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico. La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata. Oltre a distribuire delle note manoscritte per seguire il corso, vengono indicati altri testi, per indurre gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti.
I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel corso.
Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica.

Teoria generale delle varietà differenziali. Basi di Groebner.

 L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale,  in lezioni svolte alla lavagna, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La didattica frontale si costituisce di lezioni teoriche e presentazione di esercizi. La frequenza è facoltativa ma consigliata.

Modalità di esame: scritto e orale. La prova scritta è costitutita da esercizi e domande di tipo teorico. La prova è valutata in 30simi. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.

 Basi di Groebner.

Varietà differenziabili. Partizione dell'unità. Vettori tangenti e spazio tangente. Differenziale tra applicazioni differenziabili tra varietà. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati vettoriali. Sottovarietà e teorema della funzione inversa. Teoremi della funzione implicita. Campi vettoriali e bracket di Lie.  Tensori e forme differenziali. Differenziale esterno.

T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.

F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

D. A. Cox, J. Little, D. Oshea, An introduction to Computattional Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.

E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989.