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Istituzioni di Geometria

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Elements of Advanced Geometry

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Anno accademico 2024/2025

Codice attività didattica
MAT0202
Docenti
Luigi Vezzoni (Titolare)
Alberto Albano (Titolare)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Tipologia unità didattica
corso
Prerequisiti
Conoscenze di base su: geometria proiettiva, curve e superficie differenziali, funzioni reali di piu' variabili.
Basic notions on projective geometry, differential curves and surfaces, real functions in several variables.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento introduce gli studenti ad alcuni risultati di base riguardanti la geometria algebrica e la geometria differenziale la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari da un punto di vista più generale e necessariamente astratto, offrendo anche così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico. La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata. Oltre a distribuire delle note manoscritte per seguire l'insegnamento, vengono indicati altri testi, per indurre gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti.
I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nell'insegnamento.
Il lavoro richiesto per questo insegnamento è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica.
The course will give the basic notions on algebraic and differential geometry which require a deep knowledge of concepts and elementary notions from a general and more abstract point of view, offering also in this way an Important example of the methods and the development of mathematical thinking. The knowledge of these concepts is indispensable to motivate latest developments in interdisciplinary topics with respect to sectors of pure mathematics that are currently the subject of advanced research. Some notes about some specific topics will be provided and some text books will be suggested for further studies to induce students to a further personal study of the topics.
The problems and exercises that are proposed periodically aim to improve understanding and the knowledge of the topics.
The work required for this course is necessary for post graduated studies in the field. The type of work will be still useful to develop a flexibility in ,many types of jobs, not even directly related to mathematics.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Alla fine dell'insegnamento gli studenti avranno acquisito familiarità con alcuni concetti di base della geometria differenziale tra cui: teoria dei base delle varietà differenziabile, fibrazioni, sottovarietà, forme differenziali e tensori.
Avranno inoltre acquisito familiarità con i concetti di varietà affine e proiettiva, funzioni regolari e morfismi, e con i primi esempi fondamentali: mappe di Veronese e di Segre, in particolare in dimensioni basse; proiezioni; geometria proiettiva.

At the end of the course, the students will have become acquainted with some basic concepts of Differential Geometry, such as: general theory of differentiable manifolds, submanifolds, fibrations, differential forms, tensors. 
They will also have become acquainted with the concepts of affine and projective variety, regular function and morphism, and with the first fundamental examples: Veronese map and Segre map, in particular in low dimension; projections; projective geometry.

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Programma

 Introduzione alle varieta' algebriche reali e complesse, affini e proiettive. Curve piane e ipersuperfici. Nullstellensatz.

Varietà differenziabili. Partizione dell'unità. Vettori tangenti e spazio tangente. Differenziale tra applicazioni differenziabili tra varietà. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati vettoriali. Sottovarietà e teorema della funzione inversa. Teoremi della funzione implicita. Campi vettoriali e bracket di Lie.  Tensori e forme differenziali. Differenziale esterno.

 Introduction to real and complex algebraic varieties, in the affine and projective case. Plane curves and hypersurfaces. Nullstellensatz.

Differential manifolds.  Partition of unity.  Tangent vectors and tangent space. Differential of a smooth map between manifolds. Tangent and cotangent bundle. Vector bundles. Submanifolds and inverse function theorem.  Implicit function theorems. Vector fields and bracket.  Tensorial algebra and differential forms. Exterior differential.

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Modalità di insegnamento

 L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale,  in lezioni svolte alla lavagna, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La didattica frontale si costituisce di lezioni teoriche e presentazione di esercizi.
 The course consists of 48 hours of lectures held at the blackboard.  Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Lectures are mostly about theory with a minor part of exercises.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Modalità di esame: scritto e orale. La prova scritta è costitutita da esercizi. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. 

Gli studenti degli anni accademici precedenti al 18/19, che intendano sostenere l'esame sul programma di tali anni, devono comunicarlo ai docenti almeno due settimane prima dell'appello d'esame.

Examination procedure: written and oral. The written exam consists in exercises. The oral exam consists in questions about the theory and proofs presented in the course. Students from academic years prior to 18/19, who intend to take the exam on the program for those years, must notify the teachers at least two weeks before the exam session.

Testi consigliati e bibliografia

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T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.

F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

J. Harris, Algebraic Geometry - A first course, Graduate Texts in Mathematics 133, Springer 1992

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.

K. Smith et al., An Invitation to Algebraic Geometry, Springer, 2000.

T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.

F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

J. Harris, Algebraic Geometry - A first course, Graduate Texts in Mathematics 133, Springer 1992

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.

K. Smith et al., An Invitation to Algebraic Geometry, Springer, 2000.



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Note

Per maggiori informazioni si rimanda alla pagina moodle del corso.

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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 02/05/2024 11:59

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