- Oggetto:
- Oggetto:
Topologia Algebrica
- Oggetto:
Algebraic Topology
- Oggetto:
Anno accademico 2020/2021
- Codice dell'attività didattica
- MFN0576 (coorte 2019) - MAT0229 (coorte 2020)
- Docente
- Prof. Michele Rossi (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Concetti di base di topologia generale: funzioni continue, omeomorfismi, topologia quoziente.
Concetti di base di algebra: gruppi, azioni di gruppi su insiemi, anelli, moduli su anelli commutativi.
I prerequisiti sono trattati negli insegnamenti di algebra e geometria della laurea triennale; in particolare, le parti di topologia degli insegnamenti di Geometria 2 e Geometria 3. Gli studenti che hanno seguito Geometria 4 sono facilitati.
Basic concepts of point set topology: continuous functions, homeomorphisms, quotient topology.Basic concepts of algebra: groups, group actions on sets, rings, modules over commutative rings.
All the prerequisites are covered in the undergraduate courses in Geometry and Algebra, in particular in Geometria 2 and Geometria 3. Students who have taken Geometria 4 may be better prepared for this class.
- Propedeutico a
-
Questo insegnamento può essere utile per chi vuole seguire Geometria Superiore e Geometria Algebrica.This course may be useful for "Geometria Superiore" and "Geometria Algebrica"
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Questo insegnamento si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle tecniche algebriche in topologia quali l'omotopia, l'omologia e la coomologia. Queste conoscenze sono essenziali in geometria e utili in diverse altre discipline quali la fisica matematica e l'analisi su varietà differenziabili.
La struttura teorica di questo insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di media difficoltà nel campo della topologia algebrica.In particolare, l'insegnamento prevede:
- obiettivi formativi teorici: abitudine all'uso di un linguaggio matematico rigoroso; assimilazione di concetti astratti, teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia algebrica e alle sue applicazioni ad altre parti della matematica;
- obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo in un contesto astratto; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare dimostrazioni simili a quelle viste a lezione.
The course aims to provide students with basic knowledge on techniques in algebraic topology such as homotopy, homology and cohomology. This knowledge is essential in geometry and useful in other disciplines such as mathematical physics and analysis on manifolds.
The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of algebraic topology.
In particular, the course will provide:- theoretical training objectives: consistent use of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to algebraic topology and its application to other parts of Mathematics;
- applied training objectives: the student will learn computing techniques in an abstract situation to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in class.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà:- avere padronanza delle tecniche proprie della topologia algebrica
- aver compreso il significato geometrico e topologico di tali tecniche
- avere la capacità di applicare quanto appreso in esempi specifici.
At the end of the course the student is expected to:- understand the techniques of algebraic topology
- understand the geometric and topological significance of such techniques
- have the ability to apply what has been learned in specific examples.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento è svolto nel primo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale articolate in lezioni ed esercitazioni.In relazione alle disposizioni sanitarie dovute alla pandemia da Covid-19, la didattica sarà garantita in remoto e sarà costituita da attività sincrone e asincrone; se ci saranno le condizioni, alcune attività sincrone potranno essere svolte anche in presenza, pur garantendo comunque l’attività in remoto.
AVVISO IMPORTANTE. L'insegnamento inizierà Mercoledì 23 settembre alle 14,30, come da orario delle lezioni. La modalità sarà quella in remoto sincrona, ovvero una riunione (utilizzerò Google Meet) in tempo reale. Questo almeno per quel che riguarda l'inizio. Eventualmente qualcosa potrebbe cambiare in seguito, in relazione alle condizioni generali sanitarie e di compatibilità con gli altri insegnamenti.
E' quindi ESSENZIALE che tutti gli studenti interessati si iscrivano all'insegnamento, cliccando l'apposito tasto qui sotto e ANCHE sul sito Moodle dell'insegnamento, di cui al link
https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1323
Solo in questo modo è possibile ricevere il link per le lezioni.
Le lezioni saranno registrate (sarà automaticamente richiesto il consenso ad ogni partecipante) e quindi rese disponibili sul sito Moodle dell'insegnamento, per coloro che siano impossibilitati a seguire l'insegnamento in modalità sincrona.
Avviso importante: CAMBIAMENTO DI ORARIO. Dopo la prima lezione di Mercoledì 23 settembre, con gli studenti presenti si è concordato il seguente orario modificato, per le lezioni sincrone a distanza che caratterizzeranno tutto l'insegnamento:
Mercoledì dalle 14 alle 16
Venerdì dalle 16,30 alle 18,30.
L'insegnamento potrà essere tenuto in inglese se entrambe le seguenti condizioni si verificano:
- qualche studente straniero chiede l'insegnamento in inglese,
- la maggioranza di studenti italiani non richiede l'insegnamento in italiano.
This course is taught in the first semester and consists of 48 hours (6 CFU) of classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions.Due to health dipsositions relating to the pandemic from Covid-19, teaching will be guaranteed remotely and will consist of synchronous and asynchronous activities; if possible, some synchronous activities may also be carried out in the presence, while still guaranteeing remote activity.
IMPORTANT ANNOUNCEMENT. The course will start on Wednesday 23 September at 2.30 pm, following the lectures schedule. Lessons will be held online and in synchronous mode, that is, a meeting (I'll use Google Meet) in real time. This, at least for what concerns the beginning. Possibly something could change later, in relation to the general health conditions and compatibility with other courses.
It is therefore ESSENTIAL that all interested students register for the course by clicking the appropriate button below and DO THE SAME on the Moodle website of the course, to the link
https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1323
This is the only way to get the lessons' link.
Lessons will be recorded (consent will be automatically requested from each participant) and then made available on the Moodle website of the course, for those who will be unable to attend them in synchronous mode.
The course may be taught in English if both the following condition hold:
- some Erasmus student asks for the course in English,
- the majority of italian students do not ask for the course in Italian
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso dell'insegnamento. Ci saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. La valutazione avverrà mediante un voto espresso in trentesimi.In relazione alle disposizioni sanitarie dovute alla pandemia da Covid-19, gli esami potranno essere svolti a distanza, mediante la piattaforma istituzionale Webex. Alcune precisazioni in merito:
- durante lo svolgimento dell'esame non sarà consentito l'utilizzo di libri, dispense o appunti di alcun genere, cartacei o a video;
- sarà richiesta una condivisione dello schermo per verificare che non vi sia nulla di aperto a video;
- data la natura dell'esame sarà essenziale poter condividere dei contenuti manoscritti; è quindi opportuno prevedere una soluzione in tal senso; alcune idee:
1. se si dispone di un pc portatile o meglio ancora una telecamera orientabile, orientatela sul foglio,
2. meglio ancora, se si dispone di un tablet o di una tavoletta grafica, su cui scrivere a mano, condividendo lo schermo con opportuni software.
Sono naturalmente possibili altre soluzioni da studiare al momento.
The oral examination consists of questions related to the theory and demonstrations presented during the course. There will be questions that require the solution of exercises. The evaluation will be given by means of a vote expressed out of thirty.Due to health dipsositions relating to the pandemic from Covid-19, examinations may be carried out on-line, via the institutional Webex platform. Some clarifications about:
- during the examination, the use of books, handouts or notes of any kind will not be allowed;
- screen sharing will be required to verify that nothing is open on the screen;
- due to the nature of this examination, sharing handwritten content will be essential; please, provide a solution in this sense; some ideas:
1. having a laptop or a swiveling camera, orient it on the sheet,
2. even better, having a tablet or a graphic tablet, to write on by hand, sharing the screen with appropriate software.
Of course, other solutions are possible and may be agreed upon at the moment.
- Oggetto:
Attività di supporto
Saranno assegnati periodicamente agli studenti degli esercizi da risolvere, che saranno poi corretti/discussi in aula, con la collaborazione degli studenti stessi.Homework problems will be assigned regularly. The solutions to these problems will be discussed during class and presented by the students themselves.- Oggetto:
Programma
Categorie e funtori.
Richiami di algebra ed elementi di algebra omologica. Complessi di catene (cocatene) e loro omologia (coomologia)
Omologia simpliciale, omologia singolare e sue proprietà omotopiche, successione di Mayer-Vietoris, omologia relativa e escissione. CW complessi. Omologia cellulare. Teorema di paragone su CW complessi. Gli assiomi di Eilemberg-Stenrod.
Rilevanti applicazioni dell'omologia. Teorema di Brouwer d'invarianza della dimensione topologica. Teorema del punto fisso di Brouwer. Il teorrema di Borsuk-Ulam. Endomappe di sfere: teoria del grado. Dimostrazione topologica del teorema fondamentale dell'algebra. Teorema di separazione di Jordan-Brouwer.
Coomologia e dualità. Cup-product e anello di coomologia. Prodotti tensoriali. Funtori Tor ed Ext. Il teorema dei coefficienti universali. Il teorema di Kunneth.
Orientazione e dualità su manifolds.
Categories and functors.
Elements of algebra and homological algebra. Chain (cochain) complexes and their homology (chomology).
Simplicial homology, singular homology and homotopy properties, Mayer-Vietoris sequence, relative homology and excision. CW complexes. Cellular homology. Comparison theorem on CW complexes.Relevant homological applications. Brouwer theorem on the invariance of topological dimension. Brouwer fixed point theorem. Borsuk-Ulam theorem. Self maps of spheres: degree theory. Topological proof of the fundamental theorem of algebra. Jordan-Brouwer separation theorem.
Singular cohomology and duality. Cup-product and chomology ring. Tensor products. Tor and Ext functors. Univeral coefficients theorem. Kunneth theorem.Orinetation and dualities on manifolds.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Il programma dell'insegnamento è standard e vi sono molti testi introduttivi di topologia algebrica. I principali testi di riferimento saranno i seguenti:
J.R. MUNKRES, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984
J.J. ROTMAN, An introduction to Algebraic Topology, Springer, GTM 119
M. GREENBERG & J. HARPER, Algebraic Topology - A First Course, Perseus Publishing, 1981.
D. TANRE', Y. FE'LIX, Topologie algébrique. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2010
A. HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.
Può risultare anche utile consultare:
C. KOSNIOWSKI, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988.
W. FULTON, Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1995.
J. LEE, Introduction to Topological Manifolds, second edition, Springer, 2011.
The course follows a standard syllabus and there are many introductory textbooks in algebraic topology. Students are referred to the following main textbooks:J.R. MUNKRES, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984
J.J. ROTMAN, An introduction to Algebraic Topology, Springer, GTM 119
M. GREENBERG & J. HARPER, Algebraic Topology - A First Course, Perseus Publishing, 1981.
D. TANRE', Y. FE'LIX, Topologie algébrique. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2010
A. HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.
Further useful references are:
C. KOSNIOWSKI, A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 1980.
W. FULTON, Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1995.
J. LEE, Introduction to Topological Manifolds, second edition, Springer, 2011.
- Oggetto:
Orario lezioni
- Oggetto:
