- Oggetto:
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Topologia Algebrica
- Oggetto:
Algebraic Topology
- Oggetto:
Anno accademico 2022/2023
- Codice dell'attività didattica
- MAT0229
- Docente
- Michele Rossi (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Concetti di base di topologia generale: funzioni continue, omeomorfismi, topologia quoziente.
Concetti di base di algebra: gruppi, azioni di gruppi su insiemi, anelli, moduli su anelli commutativi.
I prerequisiti sono trattati negli insegnamenti di algebra e geometria della laurea triennale; in particolare, le parti di topologia degli insegnamenti di Geometria 2 e Geometria 3. Gli studenti che hanno seguito Geometria 4 sono facilitati.
Basic concepts of point set topology: continuous functions, homeomorphisms, quotient topology.Basic concepts of algebra: groups, group actions on sets, rings, modules over commutative rings.
All the prerequisites are covered in the undergraduate courses in Geometry and Algebra, in particular in Geometria 2 and Geometria 3. Students who have taken Geometria 4 may be better prepared for this class.
- Propedeutico a
-
Questo insegnamento può essere utile per chi vuole seguire Geometria Superiore e Geometria Algebrica.This course may be useful for "Geometria Superiore" and "Geometria Algebrica"
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Questo insegnamento si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle tecniche algebriche in topologia quali l'omotopia, l'omologia e la coomologia. Queste conoscenze sono essenziali in geometria e utili in diverse altre discipline quali la fisica matematica e l'analisi su varietà differenziabili.
La struttura teorica di questo insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di media difficoltà nel campo della topologia algebrica.In particolare, l'insegnamento prevede:
- obiettivi formativi teorici: abitudine all'uso di un linguaggio matematico rigoroso; assimilazione di concetti astratti, teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia algebrica e alle sue applicazioni ad altre parti della matematica;
- obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo in un contesto astratto; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare dimostrazioni simili a quelle viste a lezione.
The course aims to provide students with basic knowledge on techniques in algebraic topology such as homotopy, homology and cohomology. This knowledge is essential in geometry and useful in other disciplines such as mathematical physics and analysis on manifolds.
The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of algebraic topology.
In particular, the course will provide:- theoretical training objectives: consistent use of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to algebraic topology and its application to other parts of Mathematics;
- applied training objectives: the student will learn computing techniques in an abstract situation to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in class.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà:- avere padronanza delle tecniche proprie della topologia algebrica
- aver compreso il significato geometrico e topologico di tali tecniche
- avere la capacità di applicare quanto appreso in esempi specifici.
At the end of the course the student is expected to:- understand the techniques of algebraic topology
- understand the geometric and topological significance of such techniques
- have the ability to apply what has been learned in specific examples.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento è svolto nel primo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale articolate in lezioni ed esercitazioni.L'insegnamento potrà essere tenuto in inglese se entrambe le seguenti condizioni si verificano:
- qualche studente straniero chiede l'insegnamento in inglese,
- la maggioranza di studenti italiani non richiede l'insegnamento in italiano.
AVVISO IMPORTANTE. Le lezioni inizieranno, come da orario ufficiale
Le lezioni saranno in presenza. Se qualche studente ricadesse nella categoria degli studenti aventi diritto di richiedere lezioni a distanza, è pregato di contattare immediatamente il docente incaricato.
Si ricorda a tutti gli studenti interessati a questo insegnamento di registrarsi il prima possibile, utilizzando l'apposito form a fondo pagina, in modo da avere un elenco utile per ogni comunicazione urgente.
This course is taught in the first semester and consists of 48 hours (6 CFU) of classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions.The course may be taught in English if both the following condition hold:
- some Erasmus student asks for the course in English,
- the majority of italian students do not ask for the course in Italian
IMPORTANT NOTICE. Lessons will start coherently with the official schedule.
Lessons will be in attendance. If any student belongs to the category of students entitled to request distance lessons, please contact the teacher immediately.
In order to get a useful list for any urgent communication, all interested students are reminded to register themselves as soon as possible, using the appropriate form at the bottom of this page.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso dell'insegnamento. Ci saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. La valutazione avverrà mediante un voto espresso in trentesimi.The oral examination consists of questions related to the theory and demonstrations presented during the course. There will be questions that require the solution of exercises. The evaluation will be given by means of a vote expressed out of thirty.- Oggetto:
Attività di supporto
Saranno assegnati periodicamente agli studenti degli esercizi da risolvere, che saranno poi corretti/discussi in aula, con la collaborazione degli studenti stessi.Homework problems will be assigned regularly. The solutions to these problems will be discussed during class and presented by the students themselves.- Oggetto:
Programma
Categorie e funtori.
Richiami di algebra ed elementi di algebra omologica. Complessi di catene (cocatene) e loro omologia (coomologia)
Omologia simpliciale, omologia singolare e sue proprietà omotopiche, successione di Mayer-Vietoris, omologia relativa e escissione. CW complessi. Omologia cellulare. Teorema di paragone su CW complessi. Gli assiomi di Eilemberg-Steenrod.
Rilevanti applicazioni dell'omologia. Teorema di Brouwer d'invarianza della dimensione topologica. Teorema del punto fisso di Brouwer. Il teorrema di Borsuk-Ulam. Endomappe di sfere: teoria del grado. Dimostrazione topologica del teorema fondamentale dell'algebra. Teorema di separazione di Jordan-Brouwer.
Coomologia e dualità. Cup-product e anello di coomologia. Prodotti tensoriali. Funtori Tor ed Ext. Il teorema dei coefficienti universali. Il teorema di Kunneth.
Orientazione e dualità su manifolds.
Categories and functors.
Elements of algebra and homological algebra. Chain (cochain) complexes and their homology (chomology).
Simplicial homology, singular homology and homotopy properties, Mayer-Vietoris sequence, relative homology and excision. CW complexes. Cellular homology. Comparison theorem on CW complexes. Eilenberg-Steenrod axioms.Relevant homological applications. Brouwer theorem on the invariance of topological dimension. Brouwer fixed point theorem. Borsuk-Ulam theorem. Self maps of spheres: degree theory. Topological proof of the fundamental theorem of algebra. Jordan-Brouwer separation theorem.
Singular cohomology and duality. Cup-product and chomology ring. Tensor products. Tor and Ext functors. Univeral coefficients theorem. Kunneth theorem.Orinetation and dualities on manifolds.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Il programma dell'insegnamento è standard e vi sono molti testi introduttivi di topologia algebrica. I principali testi di riferimento saranno i seguenti:
J.R. MUNKRES, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984
J.J. ROTMAN, An introduction to Algebraic Topology, Springer, GTM 119
M. GREENBERG & J. HARPER, Algebraic Topology - A First Course, Perseus Publishing, 1981.
D. TANRE', Y. FE'LIX, Topologie algébrique. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2010
A. HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.
Può risultare anche utile consultare:
C. KOSNIOWSKI, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988.
W. FULTON, Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1995.
J. LEE, Introduction to Topological Manifolds, second edition, Springer, 2011.
The course follows a standard syllabus and there are many introductory textbooks in algebraic topology. Students are referred to the following main textbooks:J.R. MUNKRES, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984
J.J. ROTMAN, An introduction to Algebraic Topology, Springer, GTM 119
M. GREENBERG & J. HARPER, Algebraic Topology - A First Course, Perseus Publishing, 1981.
D. TANRE', Y. FE'LIX, Topologie algébrique. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2010
A. HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.
Further useful references are:
C. KOSNIOWSKI, A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 1980.
W. FULTON, Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1995.
J. LEE, Introduction to Topological Manifolds, second edition, Springer, 2011.
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Orario lezioni
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