- Oggetto:
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Istituzioni di Analisi Matematica
- Oggetto:
ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS
- Oggetto:
Anno accademico 2020/2021
- Codice dell'attività didattica
- MFN0510 (coorte 2019) - MAT0199 (coorte 2020)
- Docenti
- Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Sandro Coriasco (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
-
Calcolo e Analisi matematica in una e più variabili. Elementi di topologia. Equazioni differenziali ordinarie. Un corso introduttivo alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.Calculus and Mathematical Analysis in one and several real variables. Ordinary Differential Equations. Basic Topology. Lebesgue Measure and integration Theory.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Questo insegnamento introduce alla teoria degli spazi vettoriali infinito-dimensionali e degli operatori fra questi, con una particolare attenzione agli spazi vettoriali normati e alle loro proprietà di completezza, compattezza, e alle diverse topologie non equivalenti. Le applicazioni di questa teoria riguardano principalmente gli spazi di funzioni continue, integrabili, differenziabili e gli operatori differenziali ed integrali fra queste. Nel corso si introducono gli strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica moderna, aprendo la strada allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali e al calcolo delle variazioni. È un insegnamento di interesse teorico in sé, ed è fondamentale per molti campi della matematica applicata, in particolare per la Probabilità e l'Analisi Numerica.This course introduces the theory of infinite-dimensional vector spaces and that of operators between them, with a special focus on the concepts of normed vector spaces, completeness, compactness, and the different topologies (not equivalent) which characterize the infinite domensional spaces. The applications of this theory concern spaces of continuous, diffentiable or integrable functions, and the operators (integral and differential) between them. In this course we will introduce the basic tools of modern mathematical Analysis, paving the way to the study of partial differential equations and the calculus of variations. This is a fundamental course also for many fields of applied mathematics, in particular for Probability and Numerical Analysis.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Gli studenti dovranno confrontarsi con il fatto che, negli spazi infinito-dimensionali,- gli insiemi chiusi e limitati non sono sempre compatti,
- le applicazioni lineari non sono sempre continue,
- le funzioni continue sui chiusi e limitati non hanno sempre minimo e massimo,
- gli operatori lineari iniettivi da uno spazio in sé possono non essere suriettivi ( e viceversa).
Alla fine dell'insegnamento gli studenti avranno elaborato degli strumenti fondamentali per superare queste difficoltà ed estendere la teoria lineare anche agli spazi infinito-dimensionale e saranno pronti ad affrontare la geometrizzazione dell'Analisi Matematica.
The students will become acquainted with the fact that in the infinite-dimensional spaces,- bounded and closed sets are not compact,
- linear maps are not always continuous,
- continuous functions on bounded and closed and sets need not to admit minimum and maximum,
- linear injective endomorphisms need not to be surjective (and vice versa).
At the end of the course students will have developed the fundamental tools to overcome these difficulties and extend the linear theory also to infinite-dimensional spaces and are ready to deal with the geometrization of Mathematical Analysis.
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Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 72 ore di didattica frontale che consistono principalmente in lezioni teoriche ma anche con una parte di presentazione di esercizi. La frequenza è facoltativa ma consigliata.A causa del permanere dello stato di allerta sanitario Covid-19, le lezioni saranno fruibili a distanza. Se le condizioni lo permetteranno, parte delle attività potranno essere svolte anche in presenza.
Il corso verrà presentato in una riunione telematica via webex che si svolgerà martedì 22 settembre 2020 alle ore 10:30. Il link per accedere alla riunione verrà comunicato agli studenti iscritti al corso campusnet e verrà riportato sulla pagina moodle del corso.
Le lezioni della prima parte del corso si svolgeranno a distanza in modalità asincrona. Inoltre sono previsti incontri in presenza per discussioni, domande e feedback tutti i giovedì dal 1 ottobre al 5 novembre alle ore 10:30.
Le lezioni della seconda parte del corso si svolgeranno a distanza in modalità sincrona, collegandosi al link
The course consists of 72 hours of lectures. Lectures are mostly about theory with a minor part of exercises. Attendance is non-obligatory, recommended.In view of the health safety alert due to the Covid-19 pandemic, it will be possibile to access the lectures from remote. If conditions will allow it, part of the activities will take place also in presence.
A presentation of the lecture course is scheduled on Tuesday, September 22, 2020 at 10:30 AM. The link to the meeting will be communicated to enrolled students on this Campusnet page and will be given on the Moodle page.
The first part of the course will be held as distance teaching in asynchronous modality. In addition, lectures in presence for assistance or feedback are scheduled each Thursday, from October 1st to November 5th, at 10:30 am.
The second part of the course will be held as distance teaching in synchronous modality, connecting to the link
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consta di una prova scritta e di un eventuale orale, che può essere richiesto dallo studente o dalla commissione. Allo scritto verrà verificata la conoscenza delle definizioni, degli enunciati dei teoremi, delle loro dimostrazioni ed applicazioni e verranno proposti anche alcuni esercizi simili a quelli discussi a lezione. Non si possono utilizzare strumenti digitali né si possono consultare libri, quaderni, appunti, etc. Ulteriori dettagli sulla prova scritta (durata, esempio di prova, etc.) sono riportati sulla pagina moodle del corso. L'eventuale orale consiste in una discussione dello scritto e nell'esposizione di qualche argomento del programma, a scelta del docente. Il voto dello scritto sarà espresso in trentesimi e lo scritto si intende superato con un voto non inferiore a 18/30. Lo scritto vale solo per la sessione corrispondente. Chi non supera lo scritto deve rifare l'esame. Per chi supera lo scritto, la parte orale può essere svolta su richiesta del candidato o della commissione. Se né la commissione né il candidato chiede di svolgere l'orale, si intende che il voto finale è quello della parte scritta. L'esame è uguale per studenti frequentanti e non. Gli studenti stranieri possono sostenere l'esame in inglese.Durante il periodo di emergenza Covid l'esame si potrà svolgere in forma telematica/online, secondo una procedura che verrà precisata e pubblicizzata all'occasione.
The exam consists of a written test and a possible oral, which can be requested by the candidate or by the commission. The written test consists in questions about main definitions, statements of the theorems and their proofs and applications, as well as exercises similar to hose ones discussed during the lecture course. Candidates cannot use electronic devices, books, notes (in any form). Further details on the written test (duration, example, etc.) will be given on the moodle page of the course. The oral exam consist in a discussion of the written test and some questions about the programme of the course, chosen by the lecturer. The grade of the written test will be out of thirty. The minimum score to pass the written test is 18/30. The written test is valid just for the corresponding session. If a candidate does not pass the written test, has to retake the exam. For who passes the written test, the exam commission or the candidate can ask for the oral examination. If the oral part is not requested, the final grade will be the same as the written part. The exam is the same both for attending and non-attending students. Foreign students are allowed to sit the exam in English.During the emergency period due to the Covid pandemic the exam might be held in online/remote mode, according to a procedure which will be specified and avertised on occation.
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Programma
Geometria e topologia degli spazi di dimensione infinita. Compattezza e teorema di Ascoli Arzelà. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, separabilità. Spazi Lp. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale. Operatori lineari continui. Operatori autoggiunti. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti. Operatori integro-differenziali. Operatori di Fredholm. Distribuzioni.Geometry and topology of infinite-dimensional spaces. Compactness and Ascoli Arzelà Theorem. Banach and Hilbert spaces . Strong and weak topologies. Reflexivity, separable spaces. Lp spaces. Baire Lemma and the fundamental theorems of Functional Analysis. Bounded linear operators. Self-adjoint operators. Eigenvalues of compact self-adjoint operators. Integral-differential operators. Fredholm operators. Distributions.Testi consigliati e bibliografia
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- PRIMA PARTE DELL'INSEGNAMENTO:
Haim Brézis: Analisi funzionale. Teoria e Applicazioni (con un'appendice sull'integrazione astratta di Carlo Sbordone); Liguori editore (1986), primi cinque capitoli. Si veda anche la versione inglese: Haim Brézis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2011), testo di riferimento per gli esercizi.
A. Kolmogorov-F. Fomin: Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale, Edizioni MIR (1980).
SECONDA PARTE DELL'INSEGNAMENTO: saranno messe a disposizione dispense in formato pdf. Per ulteriori approfondimenti è adeguato qualsiasi testo classico di Analisi funzionale che tratti gli argomenti indicati nel programma.
Haim Brézis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2011).A. Kolmogorov-F. Fomin: Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale, Edizioni MIR (1980).
For the second part of the course lecture notes (in pdf format) will be available. For further studies, any standard textbook of Functional Analysis containing the topics in the programme is suited.
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Orario lezioni
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