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Istituzioni di Analisi Matematica

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ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS

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Anno accademico 2024/2025

Codice attività didattica
MAT0199
Docenti
Paolo Caldiroli (Titolare)
Joerg Seiler (Titolare)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Tipologia unità didattica
corso
Prerequisiti
Calcolo e Analisi matematica in una e più variabili. Elementi di topologia. Equazioni differenziali ordinarie. Un corso introduttivo alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.
Calculus and Mathematical Analysis in one and several real variables. Ordinary Differential Equations. Basic Topology. Lebesgue Measure and integration Theory.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

 

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, previsti dalla scheda SUA-CdS, questo insegnamento introduce alla teoria degli spazi vettoriali infinito-dimensionali e degli operatori fra questi, con una particolare attenzione agli spazi vettoriali normati, alle loro proprietà di completezza e compattezza, e alle diverse topologie non equivalenti. Le applicazioni di questa teoria riguardano principalmente gli spazi di funzioni continue, differenziabili o integrabili, e gli operatori differenziali ed integrali fra queste. Nel corso si introducono gli strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica moderna, aprendo la strada allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali, al calcolo delle variazioni e all'analisi di Fourier. È un insegnamento di interesse teorico in sé, ed è fondamentale per molti campi della matematica applicata, in particolare per la Probabilità e l'Analisi Numerica. 

Consistently with the training objectives of the Study Course, provided by the SUA-CdS plan, this course introduces the theory of infinite-dimensional vector spaces and that of operators between them, with a special focus on normed vector spaces, their properties of completeness and compactness, and the different (not equivalent) topologies which characterize the infinite domensional spaces. The applications of this theory concern spaces of continuous, diffentiable or integrable functions, and the differential and integral operators between them. In this course we will introduce the basic tools of modern mathematical Analysis, paving the way to the study of partial differential equations, the calculus of variations, and Fourier analysis. This is a fundamental course also for many fields of applied mathematics, in particular for Probability and Numerical Analysis.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Gli/Le studenti/studentesse dovranno confrontarsi con il fatto che, negli spazi infinito-dimensionali,

  • gli insiemi chiusi e limitati non sono sempre compatti,
  • le applicazioni lineari non sono sempre continue,
  • le funzioni continue sui chiusi e limitati non hanno sempre minimo e massimo,
  • gli operatori lineari iniettivi da uno spazio in sé possono non essere suriettivi (e viceversa).

Inoltre, gli/le studenti/studentesse dovranno confrontarsi con la nozione di derivata nel senso delle distribuzioni, più generale di quella in senso classico ed importante strumento nella moderna teoria delle equazioni alle derivate parziali. 

Alla fine dell'insegnamento, gli/le studenti/studentesse avranno elaborato degli strumenti fondamentali per estendere la teoria lineare anche agli spazi infinito-dimensionale e saranno pronti ad affrontare la geometrizzazione dell'Analisi Matematica.

 The students will become acquainted with the fact that in the infinite-dimensional spaces,

  • bounded and closed sets are not always compact,
  • linear maps are not always continuous,
  • continuous functions on bounded and closed and sets need not to admit minimum and maximum,
  • linear injective endomorphisms need not to be surjective (and vice versa).

Moreover, the students will become acquainted with the notion of derivative in the distribution sense, more general than the classical one, which is an important tool in the modern theory of partial differential equations. 

At the end of the course, the students will have developed the fundamental tools to extend the linear theory also to infinite-dimensional spaces and will be ready to deal with the geometrization of Mathematical Analysis.

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Programma

Geometria e topologia degli spazi di dimensione infinita. Compattezza e teorema di Ascoli Arzelà. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, separabilità. Spazi Lp. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale. Operatori lineari continui. Operatori autoggiunti.  Autovalori di operatori autoaggiunti compatti. Operatori integro-differenziali. Operatori di Fredholm. Distribuzioni. Trasformata di Fourier in L1 e L2.

Programma dettagliato

 Geometry and topology of infinite-dimensional spaces. Compactness and Ascoli Arzelà Theorem. Banach and Hilbert spaces . Strong and weak topologies. Reflexivity, separable spaces. Lp spaces.  Baire Lemma and the fundamental theorems of Functional Analysis. Bounded linear operators. Self-adjoint operators. Eigenvalues of compact self-adjoint operators. Integral-differential operators. Fredholm operators. Distributions. Fourier transform in L1 and L2.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 72 ore di didattica frontale che consistono principalmente in lezioni teoriche ma anche con una parte di presentazione di esercizi. La frequenza è facoltativa ma consigliata.
The course consists of 72 hours of lectures. Lectures are mostly about theory with a minor part of exercises. Attendance is non-obligatory, but recommended.

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e un'eventuale prova orale, che può essere richiesto dal/la candidato/a o dalla commissione. La prova scritta consiste di domande sulle definizioni principali, sugli enunciati dei teoremi, sulle loro dimostrazioni ed applicazioni, così come di esercizi simili a quelli discussi a lezione. Non si possono utilizzare strumenti digitali né si possono consultare libri, quaderni, appunti, etc. Ulteriori dettagli sulla prova scritta (durata, esempio di prova, etc.) sono riportati sulla pagina moodle del corso. L'eventuale orale consiste in una discussione dello scritto e nell'esposizione di qualche argomento del programma, a scelta del docente. Il voto dello scritto è espresso in trentesimi. Lo scritto si intende superato con un voto non inferiore a 18/30. Lo scritto vale solo per la sessione corrispondente. Chi non supera lo scritto deve rifare l'esame. Per chi supera lo scritto, la parte orale può essere svolta su richiesta del/la candidato/a o della commissione. Se né la commissione né il/la candidato/a chiede di svolgere l'orale, si intende che il voto finale è quello della parte scritta. L'esame è uguale per studenti/studentesse frequentanti e non. Gli/le studenti/studentesse stranieri/e possono sostenere l'esame in inglese.
The exam consists in a written test and a possible oral test, which can be requested by the candidate or by the commission. The written test consists of questions about the main definitions, statements of the theorems and their proofs and applications, as well as of exercises similar to those discussed during the lectures. Candidates cannot use electronic devices, books, notes (in any form). Further details about the written test (duration, example, etc.) will be given on the moodle page of the course. The possible oral test consists in a discussion of the written test and some questions about the programme of the course, chosen by the lecturer. The grade of the written test is out of thirty. The minimum score to pass the written test is 18/30. The written test is valid just for the corresponding session. If a candidate does not pass the written test, has to retake the exam. For those who pass the written test, the exam commission or the candidate can ask for the oral examination. If the oral test is not requested, the final grade will be the same as the written part. The exam is the same both for attending and non-attending students. Foreign students are allowed to sit the exam in English.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
Anno pubblicazione:  
2011
Editore:  
Springer
Autore:  
Haim Brézis
ISBN  
Capitoli:  
Ch. 1-5
Note testo:  
Disponibile anche la versione italiana (senza esercizi)
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale
Anno pubblicazione:  
2012
Editore:  
Editori riuniti
Autore:  
Andrej N. Kolmogorov, Sergei Fomin
ISBN  
Capitoli:  
Cap. II, III, IV
Obbligatorio:  
No


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Note

Gli/le studenti/esse con DSA o disabilità, sono pregati di prendere visione delle modalità di supporto (https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-e-studentesse-con-disabilita) open_in_newe di accoglienza (https://www.unito.it/accoglienza-studenti-con-disabilita-e-dsaopen_in_new) di Ateneo, ed in particolare delle procedure necessarie per il supporto in sede d’esame (https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-e-studentesse-con-disturbi-specifici-di-apprendimento-dsa/supportoopen_in_new)

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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 23/05/2024 14:18

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