- Oggetto:
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Logica Matematica 2
- Oggetto:
Mathematical logic 2
- Oggetto:
Anno accademico 2020/2021
- Codice dell'attività didattica
- MAT0066
- Docente
- Prof. Matteo Viale (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/01 - logica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto
- Prerequisiti
-
Familiarità con le nozioni apprese nell'insegnamento di Logica della LT o con l'insegnamento di Istituzioni di Logica della LM.
A questo insegnamento è ammesso solo chi non ha segueto l'omonimo insegnamento della laurea triennale.
The student should have familiarity with the notion taught in some basic course of logic.The course exam can be sustained only by those student who have not attended this same course as part of their undergraduate program
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento farà familiarizzare lo studente con le nozioni centrali della logica e della topologia generale. Verranno anche studiate applicazioni della teoria dei modelli e della teoria degli insiemi all'analisi e alla combinatoria infinita.The course will familiarize the student with the basic notion in logic and generale topology with an approach heading towards model theory and set theory. The course will also present basic applications of model theory and set theory techniques to analysis, and to infinite combinatorics.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente dovrà mostrare di aver essere in grado di applicare le tecniche apprese nello studio di problemi elementari quali: uso dell'assioma di scelta e del lemma di Zorn nello studio di problemi di topologia generale e combinatoria infinita.The student should be able to apply the techniques taught in the course to tackle elementary problems such as: the use of Zorn's lemma in the study of problems in general topology and infinite combinatorics.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezioni alla lavagna o mediante diapositive, ed esercitazioni. In relazione alle disposizioni sanitarie dovute alla pandemia da Covid-19, la didattica sarà garantita in remoto e sarà costituita da attività sincrone e asincrone.
Lectures at the blackboard, possibly with slides, and exercises. Following regulations in the midst of the Covid-19 pandemic, online lectures and exercises will be provided, both live and in streaming.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prove scritta e orale costituite da esercizi e problemi riguardanti argomenti svolti a lezione e a esercitazioni. La prova scritta è valutata in 30simi.
In relazione alle disposizioni sanitarie dovute alla pandemia da Covid-19, gli esami potranno essere svolti a distanza, mediante la piattaforma istituzionale Webex e Moodle.
Può sostenere l'esame solo chi non l'ha già sostenuto nella laurea triennale.
There will be a written and oral exam, consisting of exercises and questions about the contents of the lectures and the exercises. The grade is on a scale of 0 to 30.
Following regulations in the midst of the Covid-19 pandemic, online exams could be held, on Webex and Moodle.
The exam is permitted only to those student who have not sustained this exam in their undergraduate program
- Oggetto:
Attività di supporto
Verranno assegnati esercizi a cadenza bisettimanale.Homework will be assigned every other week.- Oggetto:
Programma
TOPOLOGIA GENERALE:
Algebre di Boole
-algebre di Boole, anelli booleani e dualità di Stone con la categoria degli spazi compatti zero-dimensionali
-completezza dell’algebra degli insiemi Lebesgue misurabili/modulo Lebesgue nulli
-algebre di Boole complete, loro rappresentazione come algebre di aperti regolari di uno spazio topologico e loro dualità con la categoria degli spazi compatti estremamente disconnessi
Compattezza-Nozioni di base sulla convergenza generalizzata (nets e loro proprietà e caratterizzazioni della compattezza per spazi topologici non primo numerabili)
-Teorema di Tychonoff sulla compattezza per gli spazi prodotto
-Teorema di compattificazione di Stone-Cech per spazi di Tychonoff
A seconda degli interessi degli studenti sarà approfondito qualcuno tra i seguenti temi:
COMBINATORIA INFINITA (Teoremi di Ramsey e di Hindman e qualche applicazione)
MODELLI BOOLEANI (Semantica e sintassi dei modelli booleani, teorema di correttezza e teorema di Los per modelli booleani, loro correlazione con ultraprodotti e con il metodo del forcing, esempi e controesempi)
QUALCHE CENNO DI TEORIA DELLE CATEGORIE (in particolare i concetti necessari a apprezzare in pieno la portata della dualità di Stone, e.g. aggiunzioni e equivalenze categoriali)GENERAL Topology:
Boolean Algebras
-Boolean algebras, boolean rings, Stone duality
-Completeness of the algebra of Lebesgue measurable sets modulo Lebesgue null sets.
-Complete Boolean algebras, their representation as algebras of regular open sets and their duality with the category of compact extremally disconnected spaces.
Compactness-Basic notion on generalized convergence (nets and their basic properties, characterization of compactness for spaces which are not first countable)
-Tychonoff's theorem on the compactness of product spaces
-Stone-Cech's comaptification theorem for Tychonoff spaces
Depending on the interests of the students we will develop some of the following topics:
INFINITE COMBINATORICS (Ramsey and Hindman's Theorems with some applications)
BOOLEAN VALUED MODELS (Semantics and syntax of boolean valued models, correctness theorem and Los theorem for boolean valued models, correlation of boolean valued models with the usual ultraproduct construction and with forcing, examples and counterexamples)
ELEMENTS OF CATEGORY THEORY (A focus on the concepts needed to fully appreciate the import fo Stone duality, e.g. adjunctions and categorial equivalences)Testi consigliati e bibliografia
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- Dispense dei docenti. Testi ausiliari possono essere:
G.K. Peters, Analysis now, GTM, Springer, 1989
Lecture notes distributed by the teachers. Auxiliary texts could also be:G.K. Peters, Analysis now, GTM, Springer, 1989
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Orario lezioni
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