- Oggetto:
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Istituzioni di Analisi Matematica
- Oggetto:
ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS
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Anno accademico 2017/2018
- Codice dell'attività didattica
- MFN0510
- Docenti
- Prof. Luigi Rodino (Titolare del corso)
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
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Calcolo e Analisi matematica in una e più variabili. Equazioni differenziali ordinarie. Un corso introduttivo alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.Calculus and Mathematical Analysis in one and several real variables. Ordinary Differential Equations. Basics of Lebesgue Measure and integration Theory.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Questo corso introduce alla teoria degli spazi vettoriali infinito-dimensionali e degli operatori fra questi, con una particolare attenzione agli spazi vettoriali normati e alle loro proprietà di completezza, compattezza, e alle diverse topologie non equivalenti. Le applicazioni di questa teoria riguardano principalmente gli spazi di funzioni continue, integrabili, differenziabili e gli operatori differenziali ed integrali fra queste. Nel corso si introducono gli strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica moderna, aprendo la strada allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali e al calcolo delle variazioni. È un corso di interesse teorico in sé, ed è fondamentale per molti campi della matematica applicata, in particolare per la Probabilità e l'Analisi Numerica.This course introduces the theory of infinite-dimensional vector spaces and that of operators between them, with a special focus on the concepts of normed vector spaces, completeness, compactness, and the different topologies (not equivalent) which characterize the infinite domensional spaces. The applications of this theory concern spaces of continuous, diffentiable or integrable functions, and the operators (integral and differential) between them. In this course we will introduce the basic tools of modern mathematical Analysis, paving the way to the study of partial differential equations and the calculus of variations. This is a fundamental course also for many fields of applied mathematics, in particular for Probability and Numerical Analysis.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Gli studenti del corso dovranno confrontarsi con il fatto che, negli spazi infinito-dimensionali,- gli insiemi chiusi e limitati non sono sempre compatti,
- le applicazioni lineari non sono sempre continue,
- le funzioni continue sui chiusi e limitati non hanno sempre minimo e massimo,
- gli operatori lineari iniettivi da uno spazio in sé possono non essere suriettivi ( e viceversa).
Alla fine del corso gli studenti avranno elaborato degli strumenti fondamentali per superare queste difficoltà ed estendere la teoria lineare anche agli spazi infinito-dimensionale e saranno pronti ad affrontare la geometrizzazione dell'Analisi Matematica.
The students will become acquainted with the fact that in the infinite-dimensional spaces,
- bounded and closed sets are not compact,
- linear maps are not always continuous,
- continuous functions on bounded and closed and sets need not to admit minimum and maximum,
- linear injective endomorphisms need not to be surjective (and vice versa).
At the end of the course students will have developed the fundamental tools to overcome these difficulties and extend the linear theory also to infinite-dimensional spaces and are ready to deal with the geometrization of Mathematical Analysis.
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Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 72 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni svolte sia alla lavagna, sia eventualmente con l'utilizzo di tablet, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La didattica frontale si costituisce di lezioni teoriche e presentazione di esercizi. La frequenza è facoltativa ma consigliata.The course consists of 72 hours of lectures held at the blackboard, and possibly with electronic devices. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Lectures are mostly about theory with a minor part of exercises. Attendance is non-obligatory, recommended.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta della durata di tre ore, composta da due parti: in una parte verranno proposte diverse domande principalmente di teoria. Verrà richiesta la conoscenza delle definizioni, degli enunciati dei teoremi e delle loro dimostrazioni ed applicazioni. L'altra parte consiste di alcuni esercizi. Non si possono utilizzare strumenti digitali né si possono consultare libri, quaderni, appunti, etc. eccezion fatta per le dispense sugli operatori lineari e sulle distribuzioni di Schwartz relative alla seconda parte del corso. Il voto finale sarà espresso in trentesimi. Il voto si registra in occasione dell'appello orale che consiste nella presa visione dello scritto. La prova finale è uguale per studenti frequentanti e non. Gli studenti stranieri possono sostenere l'esame in inglese.The final examination consists of a three-hour written test, made of two parts: one of them is a choice of several questions mostly of theory. Students will be required to know the definitions, the statements of the theorems and their proofs and applications. The other part consists of some exercises. Candidates cannot use electronic devices, books, notes (in any form) apart from the lecture notes (in italian) about linear operators and Schwartz distributions used for the second part of the course. The final grade will be out of thirty. The final grade will be confirmed at the oral part, which consists in inspecting the written part. Final exam is the same both for attending and non-attending students. Foreign students are allowed to sit the exam in English.- Oggetto:
Programma
Geometria e topologia degli spazi di dimensione infinita. Compattezza e teorema di Ascoli Arzelà. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, separabilità. Spazi L^p. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale. Operatori lineari continui. Operatori autoggiunti. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti. Operatori integro-differenziali. Operatori di Fredholm.Programma dettagliato della prima parte (lezioni del prof. Caldiroli)
Geometry and topology of infinite-dimensional spaces. Compactness and Ascoli Arzelà Theorem. Banach and Hilbert spaces . Strong and weak topologies. Reflexivity, separable spaces. L^p spaces. Baire Lemma and the fundamental theorems of Functional Analysis. Bounded linear operators. Self-adjoint operators. Eigenvalues of compact self-adjoint operators. Integral-differential operators. Fredholm operators.Testi consigliati e bibliografia
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- Haim Brézis: Analisi funzionale. Teoria e Applicazioni (con un'appendice sull'integrazione astratta di Carlo Sbordone); Liguori editore (1986).
A. Kolmogorov-F. Fomin: Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale, Edizioni MIR (1980).
Haim Brézis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2011), testo di riferimento per gli esercizi
SECONDA PARTE DEL CORSO: sono disponibili al centro stampa le dispense su: 1) Operatori lineari 2)Distribuzioni di Schwartz
Haim Brézis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2011).A. Kolmogorov-F. Fomin: Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale, Edizioni MIR (1980).
For the second part of the course (held by Prof. Rodino) lecture Notes (in italian) on 1) Linear operators 2) Schwartz distributions.
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Orario lezioni
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