- Oggetto:
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Istituzioni di Analisi Matematica
- Oggetto:
ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS
- Oggetto:
Anno accademico 2018/2019
- Codice dell'attività didattica
- MFN0510
- Docenti
- Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Joerg Seiler (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
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Calcolo e Analisi matematica in una e più variabili. Elementi di topologia. Equazioni differenziali ordinarie. Un corso introduttivo alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.Calculus and Mathematical Analysis in one and several real variables. Ordinary Differential Equations. Basic Topology. Lebesgue Measure and integration Theory.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Questo corso introduce alla teoria degli spazi vettoriali infinito-dimensionali e degli operatori fra questi, con una particolare attenzione agli spazi vettoriali normati e alle loro proprietà di completezza, compattezza, e alle diverse topologie non equivalenti. Le applicazioni di questa teoria riguardano principalmente gli spazi di funzioni continue, integrabili, differenziabili e gli operatori differenziali ed integrali fra queste. Nel corso si introducono gli strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica moderna, aprendo la strada allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali e al calcolo delle variazioni. È un corso di interesse teorico in sé, ed è fondamentale per molti campi della matematica applicata, in particolare per la Probabilità e l'Analisi Numerica.This course introduces the theory of infinite-dimensional vector spaces and that of operators between them, with a special focus on the concepts of normed vector spaces, completeness, compactness, and the different topologies (not equivalent) which characterize the infinite domensional spaces. The applications of this theory concern spaces of continuous, diffentiable or integrable functions, and the operators (integral and differential) between them. In this course we will introduce the basic tools of modern mathematical Analysis, paving the way to the study of partial differential equations and the calculus of variations. This is a fundamental course also for many fields of applied mathematics, in particular for Probability and Numerical Analysis.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Gli studenti del corso dovranno confrontarsi con il fatto che, negli spazi infinito-dimensionali,- gli insiemi chiusi e limitati non sono sempre compatti,
- le applicazioni lineari non sono sempre continue,
- le funzioni continue sui chiusi e limitati non hanno sempre minimo e massimo,
- gli operatori lineari iniettivi da uno spazio in sé possono non essere suriettivi ( e viceversa).
Alla fine del corso gli studenti avranno elaborato degli strumenti fondamentali per superare queste difficoltà ed estendere la teoria lineare anche agli spazi infinito-dimensionale e saranno pronti ad affrontare la geometrizzazione dell'Analisi Matematica.
The students will become acquainted with the fact that in the infinite-dimensional spaces,
- bounded and closed sets are not compact,
- linear maps are not always continuous,
- continuous functions on bounded and closed and sets need not to admit minimum and maximum,
- linear injective endomorphisms need not to be surjective (and vice versa).
At the end of the course students will have developed the fundamental tools to overcome these difficulties and extend the linear theory also to infinite-dimensional spaces and are ready to deal with the geometrization of Mathematical Analysis.
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Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 72 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni svolte sia alla lavagna, sia eventualmente con l'utilizzo di tablet, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La didattica frontale si costituisce di lezioni teoriche e presentazione di esercizi. La frequenza è facoltativa ma consigliata.The course consists of 72 hours of lectures held at the blackboard, and possibly with electronic devices. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Lectures are mostly about theory with a minor part of exercises. Attendance is non-obligatory, recommended.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consta di una prova scritta e di un eventuale orale, facoltativo, a scelta dello studente. Allo scritto, della durata di tre ore, verrà richiesta la conoscenza delle definizioni, degli enunciati dei teoremi e delle loro dimostrazioni ed applicazioni ed anche alcuni esercizi simili a quelli discussi a lezione. Non si possono utilizzare strumenti digitali né si possono consultare libri, quaderni, appunti, etc. L'orale consiste in una discussione dello scritto e nell'esposizione di qualche argomento del programma, a scelta del docente. Il voto dello scritto sarà espresso in trentesimi e lo scritto si intende superato con un voto non inferiore a 18/30. Lo scritto vale solo per la sessione corrispondente. Chi non supera lo scritto deve rifare l'esame. Chi supera lo scritto, sceglie se sostenere o meno l'orale. La scelta va dichiarata in occasione dell'orale. La mancata presenza all'orale comporta l'annullamento dello scritto. Se uno studente decide di non sostenere l'orale, può prendere visione dello scritto il voto finale sarà uguale a quello dello scritto. Se invece decide di sostenere l'orale, il voto finale terrà conto del voto dello scritto. In caso di svolgimento dell'orale, non è automatico che il voto finale sia necessariamente maggiore o uguale a quello ottenuto allo scritto, né è scontato che l'esame venga considerato come superato. La prova finale è uguale per studenti frequentanti e non. Gli studenti stranieri possono sostenere l'esame in inglese.The exam consists of a written test and an oral, discretionary for students. The written test will take three hours and is made of questions about main definitions, statements of the theorems and their proofs and applications, as well as exercises similar to hose ones discussed during the lecture course. Candidates cannot use electronic devices, books, notes (in any form). The oral exam consist in a discussion of the written test and some questions about the programme of the course, chosen by the lecturer. The grade of the written test will be out of thirty. The minimum score to pass the written test is 18/30. The written test is valid just for the corresponding session. If a candidate does not pass the written test, has to retake the exam. Who passes the written test, has to choose if sitting the oral exam or not. The choice is made on the occasion of the oral exam. Lack of attendance would invalidate the score of the written part. If he/she decides to not sit the oral part, he/she must report both to have sight to his/her written test and to register the grade. In case a candidate decides to sit the oral exam, the final grade will take into account also the score of the written test. In this case, there is no guarantee that the final score will be larger or equal to the score of the written test nor that the exam is passed. The exam is the same both for attending and non-attending students. Foreign students are allowed to sit the exam in English.- Oggetto:
Programma
Geometria e topologia degli spazi di dimensione infinita. Compattezza e teorema di Ascoli Arzelà. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, separabilità. Spazi L^p. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale. Operatori lineari continui. Operatori autoggiunti. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti. Operatori integro-differenziali. Operatori di Fredholm. Distribuzioni.Programma dettagliato della prima parte (lezioni del prof. Caldiroli)
Geometry and topology of infinite-dimensional spaces. Compactness and Ascoli Arzelà Theorem. Banach and Hilbert spaces . Strong and weak topologies. Reflexivity, separable spaces. L^p spaces. Baire Lemma and the fundamental theorems of Functional Analysis. Bounded linear operators. Self-adjoint operators. Eigenvalues of compact self-adjoint operators. Integral-differential operators. Fredholm operators. Distributions.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Haim Brézis: Analisi funzionale. Teoria e Applicazioni (con un'appendice sull'integrazione astratta di Carlo Sbordone); Liguori editore (1986).
A. Kolmogorov-F. Fomin: Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale, Edizioni MIR (1980).
Haim Brézis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2011), testo di riferimento per gli esercizi
SECONDA PARTE DEL CORSO: saranno messe a disposizione dispense in formato pdf. Per ulteriori approfondimenti è adeguato qualsiasi testo classico di Analisi funzionale che tratti gli argomenti indicati nel programma.
Haim Brézis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2011).A. Kolmogorov-F. Fomin: Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi funzionale, Edizioni MIR (1980).
For the second part of the course lecture notes (in pdf format) will be available. For further studies, any standard textbook of Functional Analysis containing the topics in the programme is suited.
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Orario lezioni
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