- Oggetto:
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Istituzioni di Analisi Matematica
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ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS
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Anno accademico 2021/2022
- Codice dell'attività didattica
- MAT0199
- Docenti
- Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Sandro Coriasco (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
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Calcolo e Analisi matematica in una e più variabili. Elementi di topologia. Equazioni differenziali ordinarie. Un corso introduttivo alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.Calculus and Mathematical Analysis in one and several real variables. Ordinary Differential Equations. Basic Topology. Lebesgue Measure and integration Theory.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Questo insegnamento introduce alla teoria degli spazi vettoriali infinito-dimensionali e degli operatori fra questi, con una particolare attenzione agli spazi vettoriali normati e alle loro proprietà di completezza, compattezza, e alle diverse topologie non equivalenti. Le applicazioni di questa teoria riguardano principalmente gli spazi di funzioni continue, integrabili, differenziabili e gli operatori differenziali ed integrali fra queste. Nel corso si introducono gli strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica moderna, aprendo la strada allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali e al calcolo delle variazioni. È un insegnamento di interesse teorico in sé, ed è fondamentale per molti campi della matematica applicata, in particolare per la Probabilità e l'Analisi Numerica.This course introduces the theory of infinite-dimensional vector spaces and that of operators between them, with a special focus on the concepts of normed vector spaces, completeness, compactness, and the different topologies (not equivalent) which characterize the infinite domensional spaces. The applications of this theory concern spaces of continuous, diffentiable or integrable functions, and the operators (integral and differential) between them. In this course we will introduce the basic tools of modern mathematical Analysis, paving the way to the study of partial differential equations and the calculus of variations. This is a fundamental course also for many fields of applied mathematics, in particular for Probability and Numerical Analysis.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Gli/Le studenti/studentesse dovranno confrontarsi con il fatto che, negli spazi infinito-dimensionali,- gli insiemi chiusi e limitati non sono sempre compatti,
- le applicazioni lineari non sono sempre continue,
- le funzioni continue sui chiusi e limitati non hanno sempre minimo e massimo,
- gli operatori lineari iniettivi da uno spazio in sé possono non essere suriettivi (e viceversa).
Inoltre, gli/le studenti/studentesse dovranno confrontarsi con la nozione di derivata nel senso delle distribuzioni, più generale di quella in senso classico ed importante strumento nella moderna teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Alla fine dell'insegnamento, gli/le studenti/studentesse avranno elaborato degli strumenti fondamentali per estendere la teoria lineare anche agli spazi infinito-dimensionale e saranno pronti ad affrontare la geometrizzazione dell'Analisi Matematica.
The students will become acquainted with the fact that in the infinite-dimensional spaces,- bounded and closed sets are not always compact,
- linear maps are not always continuous,
- continuous functions on bounded and closed and sets need not to admit minimum and maximum,
- linear injective endomorphisms need not to be surjective (and vice versa).
Moreover, the students will become acquainted with the notion of derivative in the distribution sense, more general than the classical one, which is an important tool in the modern theory of partial differential equations.
At the end of the course, the students will have developed the fundamental tools to extend the linear theory also to infinite-dimensional spaces and will be ready to deal with the geometrization of Mathematical Analysis.
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Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 72 ore di didattica frontale che consistono principalmente in lezioni teoriche ma anche con una parte di presentazione di esercizi. La frequenza è facoltativa ma consigliata.Le lezioni saranno svolte in presenza. Quanti sono seriamente impossibilitati a presentarsi in aula potranno seguire le lezioni da remoto via WebEx. Il link per le lezioni della prima parte, tenute dal Prof. Caldiroli, è https://unito.webex.com/meet/paolo.caldiroli
The course consists of 72 hours of lectures. Lectures are mostly about theory with a minor part of exercises. Attendance is non-obligatory, but recommended.Lectures will be held in presence. Students who are seriously unable to participate in presence can access the lectures from remote by WebEx. The link for the lectures of the first part, held by Prof. Caldiroli, is https://unito.webex.com/meet/paolo.caldiroli
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame si tiene in presenza e consta di una prova scritta e di un eventuale orale, che può essere richiesto dal/la candidato/a o dalla commissione. Allo scritto verrà verificata la conoscenza delle definizioni, degli enunciati dei teoremi, delle loro dimostrazioni ed applicazioni e verranno proposti anche alcuni esercizi simili a quelli discussi a lezione. Non si possono utilizzare strumenti digitali né si possono consultare libri, quaderni, appunti, etc. Ulteriori dettagli sulla prova scritta (durata, esempio di prova, etc.) sono riportati sulla pagina moodle del corso. L'eventuale orale consiste in una discussione dello scritto e nell'esposizione di qualche argomento del programma, a scelta del docente. Il voto dello scritto sarà espresso in trentesimi e lo scritto si intende superato con un voto non inferiore a 18/30. Lo scritto vale solo per la sessione corrispondente. Chi non supera lo scritto deve rifare l'esame. Per chi supera lo scritto, la parte orale può essere svolta su richiesta del/la candidato/a o della commissione. Se né la commissione né il/la candidato/a chiede di svolgere l'orale, si intende che il voto finale è quello della parte scritta. L'esame è uguale per studenti/studentesse frequentanti e non. Gli/le studenti/studentesse stranieri/e possono sostenere l'esame in inglese.Se l'emergenza Covid dovesse perdurare e la direzione didattica di Ateneo ammettesse la possibilità di svolgimento di esami da remoto, per quanti lo chiedessero (trovandosi nelle condizioni di poterlo fare), l'esame si svolgerà solo in forma di prova orale, secondo una procedura che verrà precisata e pubblicizzata all'occasione. In ogni caso, l'esame in modalità telematica sarà analogo per struttura e contenuti a quello in presenza.
The exam is held in presence and consists of a written test and a possible oral, which can be requested by the candidate or by the commission. The written test consists in questions about main definitions, statements of the theorems and their proofs and applications, as well as exercises similar to those ones discussed during the lecture course. Candidates cannot use electronic devices, books, notes (in any form). Further details on the written test (duration, example, etc.) will be given on the moodle page of the course. The oral exam consist in a discussion of the written test and some questions about the programme of the course, chosen by the lecturer. The grade of the written test will be out of thirty. The minimum score to pass the written test is 18/30. The written test is valid just for the corresponding session. If a candidate does not pass the written test, has to retake the exam. For who passes the written test, the exam commission or the candidate can ask for the oral examination. If the oral part is not requested, the final grade will be the same as the written part. The exam is the same both for attending and non-attending students. Foreign students are allowed to sit the exam in English.In case the emergency situation due to the Covid pandemic continued, and the University allowed the possibility of taking the exams in online/remote mode, for those who would ask (and be eligible) for it, the exam would take place only in oral form, with a procedure which will be specified and advertised on occasion. In any case, the exam in online/remote mode will be analogous, in structure and contents, to the one taking place in presence.
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Programma
Geometria e topologia degli spazi di dimensione infinita. Compattezza e teorema di Ascoli Arzelà. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, separabilità. Spazi Lp. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale. Operatori lineari continui. Operatori autoggiunti. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti. Operatori integro-differenziali. Operatori di Fredholm. Distribuzioni. Trasformata di Fourier in L1 e L2.Geometry and topology of infinite-dimensional spaces. Compactness and Ascoli Arzelà Theorem. Banach and Hilbert spaces . Strong and weak topologies. Reflexivity, separable spaces. Lp spaces. Baire Lemma and the fundamental theorems of Functional Analysis. Bounded linear operators. Self-adjoint operators. Eigenvalues of compact self-adjoint operators. Integral-differential operators. Fredholm operators. Distributions. Fourier transform in L1 and L2.Testi consigliati e bibliografia
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Orario lezioni
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