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Oggetto:
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Algebra Superiore

Oggetto:

Advanced Algebra

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0178
Docenti
Prof. Alessandro Ardizzoni (Titolare del corso)
Alan Cigoli (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/02 - algebra
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Algebra lineare, Teoria degli anelli, concetti di base di Teoria dei Moduli.
Linear Algebra, Ring Theory, Basic Concepts of Module Theory.
Oggetto:

Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento intende introdurre, da un punto di vista algebrico, ai concetti di base e ad alcuni dei risultati principali della teoria delle algebre di Hopf, che costituisce un tema specialistico di studio e di ricerca che trovano applicazioni in diversi ambiti della Matematica. Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento intende contribuire a sviluppare negli studenti capacità di astrazione e ragionamento, una flessibilità mentale utile ad affrontare lo studio di problemi complessi, favorire il lavoro di gruppo e l'approfondimento personale, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche.

The teaching aims to introduce, from an algebraic point of view, the basic notions and some of the main results of Hopf algebra Theory, which is a specialized subject of study and research with applications in several fields of Mathematics. In accord to the aims of training of the Study Course provided by the SUA-CdS form, the teaching aims to help the students to develop abstraction and reasoning skills, a mental flexibility useful in studying complex problems, to encourage the teamwork and the personal deepening, first stage for achieving autonomy in tackling new problems.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento gli studenti dovranno conoscere ed avere padronanza dei concetti di coalgebra, bialgebra, algebra di Hopf, comodulo, modulo di Hopf, Integrale di un algebra di Hopf, bosonizzazione, coradicale, e di alcuni elementi di Teoria delle Categorie.

At the end of the course the students should know and have mastered the notions of coalgebra, bialgebra, Hopf algebra, comodule, Hopf modules, integrals of a Hopf algebra, bosonization, coradical, and some elements of Category Theory.

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Programma

Verranno trattati alcuni dei seguenti argomenti:
- Coalgebre, bialgebre, algebre di Hopf e loro proprietà.
- Esempi significativi: algebra di gruppo, algebra tensoriale, algebra simmetrica, algebra inviluppante universale di un'algebra di Lie, algebra di Taft.
- Comoduli, moduli di Hopf. Teorema fondamentale dei moduli di Hopf, integrali.
- Risultati di finitezza: biiettività dell'antipodo, Frobenius, semisemplicità e separabilità (Teorema di Maschke).
- Elementi di teoria delle categorie: Categorie, Funtori, Lemma di Yoneda. Antieequivalenza tra algebre di Hopf commutative e schemi di gruppo affini.
- Algebre di Hopf con proiezione e bosonizzazione, moduli di Yetter-Drinfeld.
- Coradicale: filtrazione coradicale e sue proprietà.

We plan to focus on some of the following topics:
- Coalgebras, bialgebras and Hopf algebras and their properties.
- Examples: Group algebra, tensor algebra, symmetric algebra, universal enveloping algebra of a Lie algebra, Taft Algebra.
- Comodules, Hopf modules. Fundamental Theorem of Hopf modules, integrals.
- Finitness results: Bijectivity of the antipode, Frobenius, semisimplicity and separability (Maschke Theorem).
- Overview of the elements of Category theory: Categories, Functors, Yoneda Lemma. Antiequivalence between commutative Hopf algebras and affine group schemes.
- Hopf algebras with a projection and Bosonizations, Yetter-Drinfeld modules.
- Coradical: the coradical filtration and its properties.

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Modalità di insegnamento

L’insegnamento di articola in 48 ore complessive (6 CFU) e consisterà in lezioni frontali che si svolgeranno in aula alla lavagna. Per aiutare gli studenti a familiarizzare con l'argomento, verranno presentati numerosi esempi ed esercizi, in parte svolti a lezione, in parte lasciati da svolgere a casa.

Durante l'emergenza sanitaria, le lezioni frontali potranno essere sostituite da lezioni in diretta al seguente link: https://unito.webex.com/meet/alessandro.ardizzoni

Verranno anche messe a disposizione delle video-lezioni tramite la pagina Moodle dell'insegnamento.

The teaching is divided into 48 hours in total (6 credits) and will consist of lectures that will take place in the classroom on the blackboard. In order to help students become familiar with the topic treated, several examples and exercises will be proposed, partly developed during the lesson, partly left as a homework.

During the health emergency, the lectures could be live at the following link: https://unito.webex.com/meet/alessandro.ardizzoni

Video-lessons will be available through the Moodle page of the teaching.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova consisterà in un colloquio orale in cui gli studenti svolgeranno e discuteranno alcuni esercizi assegnati in precedenza a lezione. La preparazione sarà considerata adeguata (con votazione espressa in trentesimi), se gli studenti dimostreranno padronanza delle terminologie e tecniche specifiche di questo insegnamento. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l’esame in inglese.


In periodo di emergenza sanitaria, l'esame si svolgerà online tramite piattafoma WebEx. Consisterà sempre in un colloquio orale, come descritto sopra. I dettagli tecnici verranno forniti nella pagina Moodle dell'insegnamento.

The test will consist of an oral exam in which the students will make and discuss some exercises previously assigned in class. The preparation will be considered adequate (and marked by a 30-point scale), if the students will demonstrate mastery of terminology and of the specific techniques of this teaching. Foreign students are allowed to take the exam in English.


During the health emergency, the exam will take place online via WebEx platform. It will always consist of an oral exam, as described above. Technical details will be provided on the Moodle page of the course.

Oggetto:

Attività di supporto

Durante l'emergenza sanitaria, sulla pagina Moodle dell'insegnamento verrà aperto un forum attraverso il quale gli studenti potranno confrontarsi tra loro e con il docente sui temi trattati nelle lezioni.

During the health emergency, a forum will be opened on the Moodle page of the course, through which students will be able to discuss each other and the teacher on the topics covered in the lessons.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Hopf algebras (Mathematics Lecture Note Series)
Anno pubblicazione:  
1969
Editore:  
A. Benjamin, Inc., New York
Autore:  
M. E. Sweedler
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Hopf algebras
Anno pubblicazione:  
1980
Editore:  
Cambridge University Press
Autore:  
E. Abe
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Hopf algebras. An introduction.
Anno pubblicazione:  
2001
Editore:  
Marcel Dekker
Autore:  
S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, S. Raianu
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Hopf algebras
Anno pubblicazione:  
2012
Editore:  
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
Autore:  
D. E. Radford
ISBN  
Note testo:  
Disponibile in versione Ebook
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

Notes prepared by the lecturer. (https://sites.google.com/site/aleardizzonihome/my-forms)



Oggetto:

Note

Su richiesta di eventuali studenti stranieri presenti in aula l'insegnamento potrà essere svolto in Inglese.

The course could be held in English on demand of the foreign students present in the classroom if any.

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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Apertura registrazione
    01/09/2016 alle ore 00:00
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 08/06/2022 10:28