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Algebra Superiore

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Advanced Algebra

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Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
MAT0178
Docenti
Alessandro Ardizzoni (Titolare)
Alan Cigoli (Titolare)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/02 - algebra
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Algebra lineare, Teoria degli anelli, concetti di base di Teoria dei Moduli.
Linear Algebra, Ring Theory, Basic Concepts of Module Theory.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento intende introdurre, da un punto di vista algebrico, ai concetti di base e ad alcuni dei risultati principali della teoria delle algebre di Hopf, che costituisce un tema specialistico di studio e di ricerca che trovano applicazioni in diversi ambiti della Matematica. Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento intende contribuire a sviluppare negli studenti capacità di astrazione e ragionamento, una flessibilità mentale utile ad affrontare lo studio di problemi complessi, favorire il lavoro di gruppo e l'approfondimento personale, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche.

The teaching aims to introduce, from an algebraic point of view, the basic notions and some of the main results of Hopf algebra Theory, which is a specialized subject of study and research with applications in several fields of Mathematics. In accord to the aims of training of the Study Course provided by the SUA-CdS form, the teaching aims to help the students to develop abstraction and reasoning skills, a mental flexibility useful in studying complex problems, to encourage the teamwork and the personal deepening, first stage for achieving autonomy in tackling new problems.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento gli studenti dovranno conoscere ed avere padronanza dei concetti di coalgebra, bialgebra, algebra di Hopf, comodulo, modulo di Hopf, Integrale di un algebra di Hopf, bosonizzazione, coradicale, e di alcuni elementi di Teoria delle Categorie.

At the end of the course the students should know and have mastered the notions of coalgebra, bialgebra, Hopf algebra, comodule, Hopf modules, integrals of a Hopf algebra, bosonization, coradical, and some elements of Category Theory.

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Programma

Verranno trattati alcuni dei seguenti argomenti:
- Coalgebre, bialgebre, algebre di Hopf e loro proprietà.
- Esempi significativi: algebra di gruppo, algebra tensoriale, algebra simmetrica, algebra inviluppante universale di un'algebra di Lie, algebra di Taft.
- Comoduli, moduli di Hopf. Teorema fondamentale dei moduli di Hopf, integrali.
- Risultati di finitezza: biiettività dell'antipodo, Frobenius, semisemplicità e separabilità (Teorema di Maschke).
- Elementi di teoria delle categorie: Categorie, Funtori, Lemma di Yoneda. Antieequivalenza tra algebre di Hopf commutative e schemi di gruppo affini.
- Algebre di Hopf con proiezione e bosonizzazione, moduli di Yetter-Drinfeld.
- Coradicale: filtrazione coradicale e sue proprietà.

We plan to focus on some of the following topics:
- Coalgebras, bialgebras and Hopf algebras and their properties.
- Examples: Group algebra, tensor algebra, symmetric algebra, universal enveloping algebra of a Lie algebra, Taft Algebra.
- Comodules, Hopf modules. Fundamental Theorem of Hopf modules, integrals.
- Finitness results: Bijectivity of the antipode, Frobenius, semisimplicity and separability (Maschke Theorem).
- Overview of the elements of Category theory: Categories, Functors, Yoneda Lemma. Antiequivalence between commutative Hopf algebras and affine group schemes.
- Hopf algebras with a projection and Bosonizations, Yetter-Drinfeld modules.
- Coradical: the coradical filtration and its properties.

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Modalità di insegnamento

L’insegnamento di articola in 48 ore complessive (6 CFU) di didattica frontale. Per aiutare gli studenti a familiarizzare con l'argomento, verranno presentati numerosi esempi ed esercizi, in parte svolti a lezione, in parte lasciati da svolgere a casa.

Per qualunque aggiornamento si faccia riferimento alla pagina Moodle dell'insegnamento a cui gli studenti potranno accedere cliccando il pulsante a fondo pagina.

Tramite la pagina Moodle dell'insegnamento, verranno anche messe a disposizione delle video-lezioni registrate negli anni passati.

The course is divided into 48 hours in total (6 credits) of classroom teaching. In order to help students become familiar with the topic treated, several examples and exercises will be proposed, partly developed during the lesson, partly left as a homework.

For any updates, please refer to the Moodle page of the teaching to which students can access by clicking the button at the bottom of the page.

Through the Moodle page of the teaching, video lessons recorded in past years will also be available.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova consisterà in un colloquio orale in cui gli studenti svolgeranno e discuteranno alcuni esercizi assegnati in precedenza a lezione. La preparazione sarà considerata adeguata (con votazione espressa in trentesimi), se gli studenti dimostreranno padronanza delle terminologie e tecniche specifiche di questo insegnamento. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l’esame in inglese.

The test will consist of an oral exam in which the students will present and discuss some exercises previously assigned in class. The preparation will be considered adequate (and marked out of thirty), if the students will demonstrate mastery of terminology and of the specific techniques of this teaching. Foreign students are allowed to take the exam in English.

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Attività di supporto

Su richiesta degli studenti, sulla pagina Moodle dell'insegnamento potrà essere aperto un forum attraverso il quale potranno confrontarsi tra loro e con il docente sui temi trattati nelle lezioni.

On students request, a forum could be opened on the Moodle page of the course through which they can discuss each other and the teacher on the topics covered in the lessons.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Hopf algebras
Anno pubblicazione:  
1980
Editore:  
Cambridge University Press
Autore:  
E. Abe
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Hopf algebras. An introduction.
Anno pubblicazione:  
2001
Editore:  
Marcel Dekker
Autore:  
S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, S. Raianu
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Hopf algebras
Anno pubblicazione:  
2012
Editore:  
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
Autore:  
D. E. Radford
ISBN  
Note testo:  
Disponibile in versione Ebook
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Foundations of quantum group theory
Anno pubblicazione:  
2000
Editore:  
Cambridge University press
Autore:  
S. Majid
ISBN  
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

Notes prepared by the lecturer and made available on the Moodle page of the teaching.



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Note

Se almeno uno studente presente in aula lo richiederà, l'insegnamento verrà svolto in Inglese. Altrimenti potrà essere tenuto in italiano.

If at least one student present in the classroom requests it, the course will be taught in English. Otherwise it can be held in Italian.

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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Apertura registrazione
    01/09/2016 alle ore 00:00
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 26/02/2024 12:02

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