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Algebra Superiore

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Advanced Algebra

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Anno accademico 2017/2018

Codice dell'attività didattica
MFN0418
Docente
Prof. Alessandro Ardizzoni (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/02 - algebra
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Data dell'appello da concordare con il docente (tramite mail o telefonicamente)
Prerequisiti
Algebra lineare, Teoria degli anelli, concetti di base di Teoria dei Moduli.
Linear Algebra, Ring Theory, Basic Concepts of Module Theory.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L’insegnamento intende introdurre, da un punto di vista algebrico, ai concetti di base e ad alcuni dei risultati principali della teoria delle algebre di Hopf, che costituisce un tema specialistico di studio e di ricerca sia per l'Algebra che per la Fisica Matematica. Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l’insegnamento intende contribuire a sviluppare nello studente capacità di astrazione e ragionamento, una flessibilità mentale utile ad affrontare lo studio di problemi complessi, favorire il lavoro di gruppo e l’approfondimento personale, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche.

The teaching aims to introduce, from an algebraic point of view, the basic notions and some of the main results of Hopf algebra Theory, which is a specialized subject of study and research both for Algebra and Mathematical Physics. In accord to the aims of training of the Study Course provided by the SUA-CdS form, the teaching aims to help the students to develop abstraction and reasoning skills, a mental flexibility useful in studying complex problems, to encourage the teamwork and the personal deepening, first stage for achieving autonomy in tackling new problems.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà conoscere ed avere padronanza dei seguenti concetti: coalgebra, bialgebra, algebra di Hopf,  comoduli, moduli di Hopf, Integrali di un algebra di Hopf, bosonizzazione, coradicale, elementi di Teoria delle Categorie.

At the end of the course the student should know and have mastered the following concepts: coalgebra, bialgebra, Hopf algebra, comodules, Hopf modules, integrals of a Hopf algebra, bosonization, coradical, elements of Category Theory.

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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali della durata di 48 ore complessive (6 CFU), che si svolgeranno in aula alla lavagna.

Lectures for 48 hours in total (6 credits), which will take place in the classroom on the blackboard.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova consisterà in un colloquio orale in cui lo studente svolgerà e discuterà alcuni esercizi assegnati in precedenza a lezione.  La preparazione sarà considerata adeguata (con votazione espressa in trentesimi), se lo studente dimostrerà padronanza delle terminologie e tecniche specifiche di questo insegnamento.

The test will consist of an oral exam in which the student will make and discuss some exercises previously assigned in class. The preparation will be considered adequate (and marked by a 30-point scale), if the student will demonstrate mastery of terminology and technical specific of this teaching.

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Attività di supporto

Vengono fornite dispense preparate dal docente con contenuti integrativi.

Some notes containing also extra contents will be provided by the lecturer.

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Programma

 

Verranno trattati alcuni dei seguenti argomenti:
-  Coalgebre, bialgebre, algebre di Hopf e loro proprietà.
-  Esempi significativi: algebra di gruppo, algebra tensoriale, algebra simmetrica, algebra inviluppante universale di un’algebra di Lie, algebra di Taft.
- Comoduli, moduli di Hopf. Teorema fondamentale dei moduli di Hopf, integrali.
- Risultati di finitezza: biiettività dell’antipodo, Frobenius, semisemplicità e separabilità (Teorema di Maschke).
- Elementi di teoria delle categorie: Categorie, Functori, Lemma di Yoneda. Algebre di Hopf commutative e schemi di gruppo affini.
- Algebre di Hopf con proiezione e bosonizzazione, moduli di Yetter-Drinfeld.
- Coradicale: filtrazione coradicale, Teorema di Heyneman-Radford, Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt e Teorema di Milnor-Moore.

We plan to focus on some of the following topics:
- Coalgebras, bialgebras and Hopf algebras and their properties.
- Examples: Group algebra, tensor algebra, symmetric algebra, universal enveloping algebra of a Lie algebra, Taft Algebra.
- Comodules, Hopf modules. Fundamental Theorem of Hopf modules, integrals.
- Finitness results: Bijectivity of the antipode, Frobenius, semisimplicity and separability (Maschke Theorem).
- Overview of the elements of Category theory: Categories, Functors, Yoneda Lemma. Commutative Hopf algebras and affine group schemes.
- Hopf algebras with a projection and Bosonizations, Yetter-Drinfeld modules.
- Coradical: the coradical filtration, Heyneman-Radford Theorem, Poincaré-Birkhoff-Witt Theorem and Milnor-Moore Theorem.

Testi consigliati e bibliografia

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- H.-J. Schneider, “Lectures on Hopf algebras”, notes by S. Natale. (www.famaf.unc.edu.ar/andrus/papers/Schn1.pdf)

- M. E. Sweedler,  “Hopf algebras”. Mathematics Lecture Note Series W. A. Benjamin, Inc., New York 1969.

- E. Abe, “Hopf algebras”. Translated from the Japanese by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka. Cambridge Tracts in Mathematics, 74. Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1980.

- S. Montgomery, “Hopf algebras and their actions on rings”. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 82. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1993.

- C. Kassel, “Quantum groups”. Graduate Texts in Mathematics, 155. Springer-Verlag, New York, 1995.

- S. Majid, “Foundations of quantum group theory”. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

- S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, S. Raianu, “Hopf algebras”. An introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 235. Marcel Dekker, Inc., New York, 2001.

- D. E. Radford, “Hopf algebras”. Series on Knots and Everything, 49. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2012.



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Orario lezioni

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Note

Su richiesta di eventuali studenti stranieri presenti in aula il corso potrà essere svolto in Inglese.

The course could be held in English on demand of the foreign students present in the classroom if any.

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Ultimo aggiornamento: 03/05/2018 11:11